2018版高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时变化率 - 导数（一）学案苏教版选修1-1

3．1.2 瞬时变化率——导数(一)

学习目标 1.理解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度．

知识点一 曲线上一点处的切线

思考 如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线

PPn的变化趋势是什么？

梳理 可以用逼近的方法来计算切线的斜率， 设P(x，f(x))，Q(x＋Δx，f(x＋Δx))， 则割线PQ的斜率为kPQ＝

fx＋Δx－fx. Δx当Δx无限趋近于0时，____________无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的________．

知识点二 瞬时速度与瞬时加速度

思考 瞬时速度和瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？

梳理 (1)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率

st0＋Δt－st0

Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的

________________，即位移对于时间的________________． (2)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率

vt0＋Δt－vt0

无

Δt限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的________________，即速度对于时间的________________．

知识点三 函数的导数

思考1 函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？

思考2 导数f′(x0)有什么几何意义？

Δy梳理 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值

Δx＝________________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处________，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作________．

类型一 求曲线在某点处的切线斜率

13?8?例1 如图，已知曲线y＝x上一点P?2，?，求： 3?3?

(1)点P处的切线的斜率； (2)点P处的切线方程．

反思与感悟 解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率．

跟踪训练1 若曲线f(x)＝x－1在点P处的切线的斜率为k，且k＝2，则点P的坐标为__________．

类型二 求瞬时速度、瞬时加速度

例2 已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，

Δv(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；

Δt(2)求质点M在t＝2 s时的瞬时加速度．

反思与感悟 (1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别． Δv(2)求瞬时加速度：①求平均加速度；②令Δt→0，求出瞬时加速度．

Δt跟踪训练2 质点M按规律s(t)＝at＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点

2

2

2

M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．

类型三 求函数在某点处的导数 例3 求函数y＝x在x＝1处的导数．

反思与感悟 根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δyf(2)求平均变化率＝

Δxx0＋Δx－fx0

；

ΔxΔy→f′(x0)． Δx(3)得导数，当Δx→0时，

Δy关键是在求时，要注意分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用．

Δx1

跟踪训练3 利用定义求函数y＝x＋在x＝1处的导数．

x

1．已知曲线y＝f(x)＝2x上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为________．

2．任一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t，则物体的初速度是________．

3．已知物体运动的速度与时间之间的关系：v(t)＝t＋2t＋2，则在时间段[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．

4．已知曲线y＝2x＋4x在点P处的切线斜率为16.则点P坐标为____________． 5．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx趋近于零时，无限趋近于常数________．

2

2

2

2

fx0－Δx－fx0

Δx

1．曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率．

2．瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度．

提醒：完成作业 第3章 §3.1 3.1.2(一)