P到点Q的距离，试探索?d1,d2??d3是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知函数f?x??xex?a?lnx?x?,a?R.
?1?当a?e时，求f?x?的单调区间；
?2?设t?lnx?x，且函数f?x?的解析式可以表示成g?t?，当函数g?t?有且只有一个零点时，求实数a的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第23，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度
?x?1?3t单位，已知直线l的参数方程为???3?t为参数?，曲线C1的极坐标方程为??2sin?y??
2t?1?求直线l的普通方程与曲线C1的直角坐标方程；
?2?若把曲线C1上给点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2，设点M是曲
线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值. 23[选修4-5：不等式选讲] （本小题满分10分） 已知不等式x?x?3?x?6的解集为?xm?x?n?.
?1?求m,n的值：
?2?若x?0,y?0,nx?y?m?0,，求证4x?y?25xy.
2024年普通高等学校招生全国统一考试
数学模拟测试参考答案
1.C 本题考查复数的模.Qz?1?2i?1?2???2101?i??1?i2??12?32i，?z?2. 2.C 本题考查集合的关系.QN??xx2?3,x?Z????1,0,1?.?M?N???1,0?
3.C 本题考查等比数列的公比，Q数列?an?是递增的等比数列，且a1?a4?9,a2a3?8，?a1?a4?9,a 1a4?a2a3?8，解得a1?1,a4?8或a1?8,a4?1（舍去），?q3?8解得q?2. 4.A 本题考查直线与双曲线的简单性质.Q双曲线焦点F?4,0?，第一、三象限的渐近线方程为
y?33x，?直线l的方程是y??3x?43. 5.B 本题考查三视图，依题意，由三视图可知，该几何体是由半径为2，高为3的圆柱，与半径为1，高为1的圆柱，以及底面半径为1，高为2的圆锥，组成的几何体.所求体积为
3???22?1???12?13?2???12?413?
6.C 本题考查平均数和方差，观察图像可知，实践中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，即xA?xB.显然数据中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差，即S222A?SB.综上xA?xB,SA?S2B.
7.D 本题考查三角函数的图象性质.
QT??,???2,又Qf?????12???2
?2sin???????????2?12?????2，?2?12???2,???3，?f?x??2sin??2x?3??
?f???x???12???2sin?????2x?2???2cos2x.
?其对称轴方程为x?12k??k?Z?,?选D项.
8.C 本题考查数学史和程序框图，执行程序框图，x?86,y?90,s?27；x?90,y?86,s?27；
x?94,y?82,s?27；x?98,y?78,s?27，结束循环.输出的x?y?20.
9.D 本题考查切线与最小值.设切点坐标为?x0,2alnx0?，
?2alnx0?2x0?b则??2a?b?2aln?2,??x0?2x0,?b?2alna?2a??xx?a
0?0?b??2lna，当0?a?1时，b??0.
?函数b?2alna?2a在a??0,1?上单调递减.
当a?1时，b??0，?函数b?2alna?2a在a??1,???上单调递增. 当a?1时，b取得最小值?2.
10.D 本题考查球的组合体，Q在梯形ABCD中，AB//CD,AD?AB,AB?4，
AD?CD?2,?AC?22,?AC?BC.取AB的中点O，取AC的中点E,连接DE,OE，当二面角
D?AC?B是直二面角时，DE?OE,可得OA?OB?OC?OD?2，?O为三棱锥D?ABC的外接
球的圆心，半径r?2，球的表面积为4??22?16?.
11.D 本题考查函数的最大值，Qf?x??x2?2x??x?1?2?1在?0,???上是增函数，且f?x??0
?f1?x??f?x??x2?2x，其在?1,2?上单调递增，故f1?x?max?32?1.
?f2?x?max?f?f1?x?max??f?32?1?1?2?1?34?1
?f283?x?max?f?f2?x?max??f?34?1?1??1?3?1
?可推得f220242024?x?max?3?1
12.B 本题考查直线、圆与抛物线，QF?1,0?，设C?x0,y0?，则圆C的方程是
?x?x20???y?y0?2??x221230?1??y0，令x??2，得y?2y0y?3x0?4?0.
又Qy2220?4x0,?V?4y0?12x0?3?y0?3?0恒成立. 设A???1,y??1?3?23??,B???2,y4??，则y3?y4?2y0,y3y4?3x0?4. ?FAgFB?y292923?4gy4?4??y3y4??92814?y23?y4??16 ???3?29?3?3x???810?4???4??4y20?2??3x0?4?????16?9x20?18x0?9?3x0?1 又Qx0?0,?FAgFB??3,??? 13.
49 本题考查几何概型.Qf?a???1,2?,?解得4?a?8，?所求概率P?8?410?1?49. 14.?2 本题考查线性规划.约束条件所表示的可行域为三角形区域，其三个顶点的坐标分别为
?0,0?,?1,0?,?2,2?，将三个顶点的坐标分别代入目标函数中z?2y?3x?1，易得在点?1,0?处取得最小值
?2.
15.
53 本题考查向量问题，设BD?x. QCD?4?BD?4?x，圆外一点的两切线段等长?AE?AC?CE?5??4?x??9?x，
又QAE?AF,?9?x?6?x，解得x?3. QBD:DC?32:52?3:5,?uuuADr?r25uuu3uuur538AB?8AC，即m?8,n?8.
?mn?53. 16.12 本题考查数列的综合应用. Q当n?4时，数列?an?构成以a4??3?a1?9为首项，以?3为公差的等差数列，
?an?a4??n?4?g??3??21?3n?n?4?，
且当4?n?7时，an?0；当n?8时，an?0.
Qa26?4?a4?a7?1?a2?????a7?2?26?18?44 ?当n?8时，Qa?n?8??a8?an?1?a2?????an?44?2
?44??n?8???3?21?3n??n?8??18?3n?2?44?2?80
?n2?14n?24?0，解得n?12或n?2（舍）
17.解：本题考查解三角形.
?1?由?a?b?c??a?b?c???3?2?ab，得?a?b?2?c2??3?2?ab.
所以a2-2ab?b2?c2??3?2?ab.
所以a2?b2?c2?3ab. ①
a2?b2?c2由余弦定理的推论，得cosC?2ab?3ab2ab?32 又根据三角形的内角性质，得C??0,??,所以C??6.
?2?若c?3，VABC的周长为9，则a?b?6.
代入①中，得a2?b2?32?3ab，得?a?b?2?32??2?3?ab.
得62?32??2?3?ab，得ab?27?2?3?. 所以根据三角形的面积公式，得VABC的面积
S?11?112722absinC?2?27?2?3??sin6?2?27?2?3????3?2?4
18.解：本题考查体积和线线垂直.
?1?Q?BAC?120o,AC?AB?2.
?S13VABC?2?2?2?sin120o?2?2?3 ?V三棱柱ABC?A1B1C1?SVABCgAA1?3?3?33 ?2?在VABC中，由余弦定理，得cos?BAC?22?22?BC22?2?2??12，解得BC?23. QM是BC的一个靠近点C的三等分点，?CM?1233BC?3.
四川省成都七中2024届高三高考模拟测试数学试题
