第12讲 空间向量与
立体几何综合
满分晋级
立体几何10级 空间向量与立体
几何综合
立体几何9级 点面距离 与动点问题
立体几何11级 折叠问题与 最值问题
新课标剖析
当前形势
内容 证明平行与垂直
高考 要求
直线的方向向量 平面的法向量 线、面位置关系 线线、线面、面面的夹角
空间向量与立体几何在近五年北京卷（理）考查14分
要求层次 A
B √ √
C √ √ √
具体要求
运用向量的数量积证明直线与直线的平行与垂直 灵活掌握共线向量性质
利用向量的数量积来计算平面的法向量 运用空间向量的性质判断线面之间的平行与垂直 运用空间向量的数量积计算线线角线面角面面角
北京 高考 解读
2009年 第16题14分
2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 2013年（新课标） 第16题14分
第16题14分
第16题14分
第17题14分
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
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12.1空间向量的概念与运算
考点1：空间向量的运算
知识点睛
1．向量的加法、减法与数乘向量运算与平面向量类似； 2．空间向量的基本定理：
共线向量定理：对空间两个向量a，b（b?0），a∥b的充要条件是存在实数x，使a?xb． 共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c?xa?yb． 空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一一个有序实数组x，y，z，使p?xa?yb?zc．
表达式xa?yb?zc，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合．
b，c}，其中a，b，c都叫做基向量． 上述定理中，a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 四点共面定理：设点O为空间任意一点，点A，B，C是空间不共线的三点，又点P满足等式：
OP?xOA?yOB?zOC，其中x，y，z?R，
则P，A，B，C四点共面的充要条件是x?y?z?1．
<教师备案>四点共面定理的证明．充分性即证：若x?y?z?1，则P，A，B，C四点共面，
必要性即证：若P，A，B，C四点共面，则有x?y?z?1． 先证充分性：
∵x?y?z?1， ∴z?1?x?y，
∴OP?xOA?yOB?(1?x?y)OC?x(OA?OC)?y(OB?OC)?OC?xCA?yCB?OC． 即CP?xCA?yCB，由共面向量定理知P，A，B，C四点共面． 再证必要性：
设x?y?z?k， 由条件OP?xOA?yOB?zOC， 得：OP?xOA?yOB?(k?x?y)OC
?x(OA?OC)?y(OB?OC)?kOC?x(OA?OC)?y(OB?OC)?OC?(k?1)OC，
∴OP?OC?x(OA?OC)?y(OB?OC)?(k?1)OC， 即CP?xCA?yCB?(k?1)OC，
∵P，A，B，C四点共面，而点O为空间任意一点， ∴只能k?1，即x?y?z?1． 综上知，命题成立．
24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版
b，在空间任取一点O，作OA?a，OB?b，则?AOB叫3．两个向量的夹角：已知两个非零向量a，b?．通常规定0≤?a，b?≤π． 做向量a与b的夹角，记作?a，b???b，a?． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且?a，b??90?，则称a与b互相垂直，记作a?b． 如果?a，4．两个向量的数量积：
已知空间两个向量a，b，定义它们的数量积（或内积）为：a?b?abcos?a，b? 空间两个向量的数量积具有如下性质： ⑴ ab?a?b?0；⑵ a?a?a；⑶ a?b≤ab．
2空间两个向量的数量积满足如下运算律：
⑴ (?a)?b??(a?b)；⑵ a?b?b?a；⑶ (a?b)?c?a?c?b?c．
<教师备案>空间向量的运算法则与平面向量大致一样，只不过是从二维平面转到三维空间．空间向量
主要是用来解决立体几何问题．空间向量在暑期没有预习课程，只有这一讲同步讲义．
经典精讲
提高班学案1
【铺1】 ⑴ 给出下列命题：
①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；
②若空间向量a，b，满足a?b，则a?b； ③在正方体ABCD?A1B1C1D1中，必有AC?A1C1；
④若空间向量m，n，p满足m?n，n?p，则m?p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 ⑵ 如图所示，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为AC与BD
DMC的交点，若A1B1?a，A1D1?b，A1A?c，则下列向量中与B1MABD1相等的是（ ） C1cb111111A．?a?b?c B．a?b?c
222222A1B1a1111C．a?b?c D．?a?b?c
2222⑶ 设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB?2e1?ke2，CB?e1?3e2，CD?2e1?e2，
且A，B，D三点共线，则k?＿＿． 1，0?，C?4，0，?2k?，则k?＿＿．⑷ 若△ABC中，?C?90?，A?1，2，?3k?，B??2，
【解析】 ⑴ C
当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，却不一定有
起点相同，终点相同，故①错；根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故②
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第12讲·提高-尖子-目标·教师版
20学而思教材讲义高二数学秋季秋季 第12讲 空间向量与立体几何综合 教师版
