2.1 第一课时 离散型随机变量及其分布列（1）
一、课前准备 1．课时目标
(1) 理解随机变量的含义；
(2) 能在具体情境中求得随机变量的取值
(3) 能建立随机变量取值与试验的事件的对应； 2．基础预探
1.在一些随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验的结果的变化而变化的变量称为_________.随机变量通常用字母X，Y，ξ，η……表示.
2.取值可以______________的随机变量，称为离散型随机变量. 二、学习引领
1. 随机变量的特征
（1）不确定性（随机性）：在试验之前，不能确定随机变量的结果；
（2）对应性：随机变量和函数一样是一种映射，它把随机试验的结果对应为实数； （3）可类比性：可类比函数进行理解，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域.把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域. 2. 如何理解随机变量
随机变量X是和随机事件A互相对应的，随机变量X的取值x1,x2,件A1,A2,一一对应的；随机变量X中的每个取值x1,x2,分别等于随机事件A1,A2,是和A中的随机事
的概率P(X?x1)，
.随机变量X不
P(X?x2),所发生的概率P(A1)，P(A2),但有取值范围，而且还有对应的概率值，这是和普通变量所不同的地方. 3.如何理解离散型随机变量
如从标有1-10的10个小球中任取出一个，得到的数字记为随机变量，显然，此随机变量只能在{1,2,3，……，10}中取一个，可以一一列出，这样的随机变量为离散型随机变量；再如从[1,10]中，任取一个数字，得到数字记为随机变量，显然，此随机变量会有无数多种可能，并且是区间[1,10]的任意一个值，不能一一列出，这就不是一个离散型随机变量. 三、典例导析
题型一 随机变量的含义
例１ 用随机变量表示如下随机试验的结果,并说明其取值范围.
①某水文站观察到的一天中的长江的水位的最大值为100.5m,最小值为98.5m，这天的水位. ②抛掷骰子向上的面的点数
③在100件产品中，含有5件次品，从中取出4件，取出的次品数．
思路导析：根据定义随机变量可用大写的英文字母X, Y或者希腊字母?,?等表示.这个随机试验所有的可能情况对应的取值就是这些变量的范围.
解：①可以设一天中的长江的水位可以用随机变量?, ?的取值范围是[98.5, 100.5]. ②抛掷骰子向上的面的点数可以用随机变量X表示, 其中X =1表示抛掷骰子向上的面的点数为1 ;
X =2表示抛掷骰子向上的面的点数为2 ; X =3表示抛掷骰子向上的面的点数为3 ;
…………………………
X =6表示抛掷骰子向上的面的点数为6 ． X的取值范围是{1，2，3，4，5，6}．
③取出的次品数可以用随机变量Y表示，Y=1表示取出的取出4件产品中有1件次品； Y=2表示取出的取出4件产品中有2件次品；Y=3表示取出的取出4件产品中有3件次品； Y=4表示取出的取出4件产品中有4件次品．Y的取值范围是{1，2，3，4}．
规律总结：通过上面的三个例子可看出，随机变量的取值可能是连续的一个区间，也可能是离散的几个值，但它们都是随机试验的所有结果的取值．
变式训练：盒中装有6支蓝粉笔，8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含蓝粉笔的支数
?.
题型二 离散型随机变量
例２ 下列所述：①某座大桥一天经过的车辆数ξ；②某无线电寻呼台一天内收到寻呼次数ξ；③一天之内的温度ξ；④一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射击手在一次射击中的得分.其中ξ是离散型随机变量的是（ ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
思路导析：判断一个随机变量是否是离散型随机变量，就是看这一变量的所有可能的取值是否可以一一列出.
解：①②④中的ξ可能取的值，可以按一定次序列出，而③中的ξ可以取某一区间内的任意值，属于连续型的随机变量，故选B ． 规律总结：如果某个随机变量的取值为可列举的有限个值，那么这个随机变量为离散型的随机变量；如果随机变量的取值为一个或者多个连续的区间内的任意值，则为连续型的随机变
2
量．
变式训练：在下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ).
A．某个路口一天中经过的车辆数X
B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度X C．某超市一天中来购物的顾客数X
D．小马登录QQ找小胡聊天，设X=?答案：B
题型三 离散型随机变量值的意义
例３ 袋中装有号码分别为1、2、3、4的4个小球，从中有放回的摸出2个小球，记述顺次摸出的2个小球的号码之和记为?，则随机变量?可能取得值有哪些，分别表示什么意义？ 思路导析：先分析小球号码的所有可能的组合，得到随机变量的取值，再分析每个取值对应的事件.
解：有放回抽出两个小球得到两个小球号码之和为随机变量?，它所有可能的取值为{2，3，4，5，6，7，8}.
?1，小胡在线，?0，小胡不在线
?=2所表示的试验结果是：两次抽到的都是1号；
?=3所表示的试验结果是：第1次抽到的是1号，第二次抽到的是2号，或第1次抽到的
是2号，第2次抽到的是1号；
?=4所表示的试验结果是：第1次抽到的是1号第二次抽到的是3号，或第1次抽到的是3
第二次抽到的是1，或两次抽到的都是2号；
?=5所表示的试验结果是：第1次抽到的是1号第二次抽到的是4号，或第1次抽到的是4
第二次抽到的是1，或第1次抽到的是2号，第二次抽到的是3号，或第1次抽到的是3号，第二次抽到的是2号；
?=6所表示的试验结果是：两次抽到的都是3号；
?=7所表示的试验结果是：第1次抽到的是3号第二次抽到的是4号，或第1次抽到的是3
号，第2次抽到的是4号；
?=8所表示的试验结果是：两次抽到的都是4号．
规律总结：本题要分清摸球时放回与不放回，有放回的摸球相当于反复做同一个试验，而不放回的摸球则每次是做不同的试验，遇到此类问题时要注意它们的区别．
变式训练：小王钱夹中只剩有20元、10元、5元、2元和1元人民币各一张．他决定随机抽出两张，用做晚餐．用X表示这两张金额之和，写出X的可能取值，并说明所取值表示的
3
随机试验结果．
四、随堂练习
1．20件产品中有5件次品，从中任取两件，可为随机变量的是( )
A．取到产品的件数 B. 取到次品的件数 C．取到正品的概率 D．取到次品的概率
2.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为 ( )
A．1，2，…，6 B 1，2，···，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3，…
3.抛掷两颗骰子，所得点数之和为X，那么X=4表示的随机试验结果是( )
A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点
C.两颗都是4点 D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
4.某小组有12位同学，其中恰有5人是长跑爱好者，现最多逐个派出4人去执行一项任务，但派到一位长跑爱好者就不再加入了．用X表示派出的人数，求X所有可能的值为 ．
5．郑州到武汉的电力化铁道线上，每隔50m有一电线铁塔，铁塔的编号为X，X是连续型随机变量还是离散型随机变量
6.写出下列随机变量的可能取值，并说明它们是否为离散型随机变量
(1)某高速公路入口处，在上午9点到下午3点这段 时间内驶入公路的汽车数X． (2)某天，本班教室前门开关次数Y． (3)投出一架折叠纸飞机，飞行时间Z．
五、课后作业
1．下列叙述中，是随机变量的有（ ） ①某工厂加工的零件，实际尺寸与规定尺寸之差;②标准状态下，水沸腾的温度;③某大桥一天经过的车辆数;④向平面上投掷一点，此点坐标.
Ａ．②③ Ｂ．①② Ｃ．①③④ Ｄ．①③
2.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X>4”表示的试验结果是（ ）
A. 第一枚6点，第二枚2点 B. 第一枚5点，第二枚1点 C. 第一枚1点，第二枚6点 D. 第一枚6点，第二枚1点
3.从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能的取值有（ ）
A.17个 B.18个 C.19个 D.20个
4
4. 某学生钱包里只剩有10元、5元、2元的人民币各一张，一元人民币3张．他决定随机抽取几张．用表示这几张人民币金额之和?，则??8表示__________________．
5.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取球两次，设两次小球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数？P(Y?4)的概率是多少？
6.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出1km加收2元计费(超出不足1km的部分按1km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1km路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，（1）他收旅客的租车费η是否也是一个随机变量？如果是，找出租车费η与行车路程ξ的关系式；
(２)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?这种情况下，停车累计时间是否也是一个随机变量？
参考答案
2．基础预探
随机变量 一一列出
三、典例导析
例１ 变式训练 解： ?=0，l，2，3．
?=0表示取出0支蓝粉笔、3支红粉笔； ?=1表示取出1支蓝粉笔、2支红粉笔； ?=2表示取出2支蓝粉笔、1支红粉笔； ?=3表示取出3支蓝粉笔、0支红粉笔；
例２ 变式训练
解：选项B中，每一时刻水的温度可以取某一区间内的任意值，显然不能一一列出，所以X不是离散型随机变量.
例３ 变式训练
解：X=3，表示抽到的是1元和2元；
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2016-2017学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 第1课时 离散型随机变量及其分布列
