2011年GCT入学资格考试数学基础能力测试试题
（25题，每题4分，共100分）
难度增加：初等数学的几何与微积分
线性代数与09年考试持平，主要考察计算
a?bab?20,?10,则的值为（ ）
b?cbc1121110210A. B. C. D.
211121111. 若
2345672. 设S?3?3?3?3?3?3?3，则S被4除的余数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
3. 如图所示，?MNP是?ABC的内切圆中的一个内接正三角形，已知阴影部分的面积为1500平方厘米，则正三角形?ABC的面积等于（ ）平方厘米. A.1900 B.2000 C.2100 D.2200
2n?1???1?4. 已知数列a1,a2,a3,?,an,?的通项是an?4（ ）
n?1，则该数列前101项的和等于
A.2501 B.2551 C.2601 D.2651
5. 三个边长为1的正方形拼成如图所示的图形，图中有两条线段相交的锐角为?，tan??（ ） A.
132 B. C. D.1
222 1
5?3,则代数式x?x?1??x?2??x?3?的值为（ ） 2 A.?1 B.0 C.1 D.2
6. 若x?
7. 设A，B两车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向匀速行驶.两车第一次相遇于距甲地20公里处仍继续前行，当分别到达乙、甲两地后立即按原速原路返回，途中第二次相遇于距乙地10公里处，则甲、乙两地相距（ ）公里。
A.35 B.40 C.45 D.50
8. 设O为坐标原点，a,b,c的大小关系如图所示，则（ ） A.0 B.
9. 若函数f?x?是周期为6的奇函数，则sin?f??7??f?1??（ ） A.
111111?????的值是abbcca222 C. D. abc???????cos?f?6???的值等于12?12????1123 B. C. D. 42222?1?i?，则z?z?（ ） 1?i10. 若复数z1?,z2?121?i?1?i?2 A.1 B.3 C.2 D.2
11.如图，面积为9平方厘米的正方形EFGH在面积为25平方厘米的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF//AB.记线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长度是（ ）厘米.
A.
25737375 B. C. D. 4422 2
12.有长为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm的六根细木条，任取其中3根为边能够成一个三角形的概率为（ ） A.
1137 B. C. D. 54102013.某股民用30000元买进甲乙两种股票，在甲股票跌下10%，乙股票升值8%时全部卖出，赚得1500元，则该股民原来购买的甲乙两种股票所用钱数的比例为（ ） A．2:3 B．3:2 C．1:5 D．5:1
14. 参数方程 x=sin t +cos (
?－t)+2 在xOy平面上表示 6? y=cos t + sin(－t)－3
6的曲线是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
15.一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为1，母线长3.将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓缓流出。当容器中剩下的水为原来的
2 时，圆柱的母线与水平面所成的角等于3（ ）
。。
A．30 B．45
。。
C．60 D．75
－
16.当x→ 3时，下列选项中为无穷小量的是（ ） A．
x?32x?911xC．sin D．e?3
x?3 B．ln(3-x)
17.若f(x)在x0处可导，且f(x0)=a, f’(x0)=b,而|f(x)|在x0处不可导，则（ ） A．a=0, b=0 B．a=0, b≠0 C．a≠0, b=0 D．a≠0, b≠0
18.若方程x－elnx－k=0在（0,1]上有解，则k的最小取值为（ ） A．-1 B．
1 e 3
C．1 D．e
19.若函数y（x）=
?x22e?td2y(x)dt，,则
dx2 =
x??1A．0 B．1 C．4e D．4e 20.若1?x是xf(x)的一个原函数，则A．-1 B．C．?21.设
2?1?101dx=（ ） f(x)? 4?4 D．1
x1,x2[0,2],总有
f(x)在[0,2]上单调连续，f(0)=1,f(2)=2,且对任意
2x1?x2f(x1)?f(x2)f()>,g(x)s是f(x)的反函数，P=?g(x)dx，则（ ）
122A．0 < P < 1 B．1 < P < 2
C．2 < P < 3 D．3 < P < 4
?10?2??x1??????1??x2?的展开式中，x2x3 项的系数是（ ） 22.在（x1,x2,x3）?24?0?35??x????3?A．—4 B．—2
C．2 D．13
23.对任意的n阶矩阵A，B，C，若ABC=E（E是单位矩阵），则下列5式中： （ⅰ）ACB=E (ii)BCA=E (iii)BAC=E (iv)CBA=E (v)CAB=E 恒成立的有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
x1?x2?ax3?024.若方程组 ?x1?ax2?x3?a2有解，则其中a=（ ）
x2?x3??4A．-2 B-1 C．1 D．2
?1?10??200?????25.若A=??110?与B=?020?相似，则a=( )
??2a2??000?????A．2 B.1
C．－1 D．－2
4
2011年GCT数学真题参考答案
1.解析：
ab?20，可知a?20b；由?10，可知b?10c； bca?ba?b200c?10c210c210c，代入??? 综上，可知a?20b?200，可得，
b?cb?c10c?c11c11解法一：（替换法）由选择D选项。
解法二：（特殊值法）令c?1，由
ba?10，得到b?10；由?20，得到a?200，于是cba?b200?10210??，选择D选项。 b?c10?111
a?1a?ba?bb20?1210解法三：（比例法）在的上下同时除以b，得到，选择D???c1b?cb?c1?111?b10选项。
解法四：（估计法）由
a?bab?20,?10,，可知a是b的20倍，而b是c的10倍；所以
b?cbc的分子是分母的10倍以上，而选项中只有D在10倍以上，因此选择D选项。
2.解析：
解法一：（等比数列法）S实际上是一个首项为3公比为?3的等比数列的前7项和，所以
31???3?337?1S???1641，而1641?4?410?1，因此余数是1，选择B选项。
1???3?47????
解法二：（同余法）3???1??mod4?，因此32???1??1?mod4?，
233???1????1??mod4?，34???1??1?mod4?，35???1????1??mod4?，
34536???1??1?mod4?，37???1????1??mod4?，因此可以得到
S?3?32?33?34?35?36?37?mod4???1?1?1?1?1?1?1???7??mod4??1?mod4?67因此余数是1，选择B选项。
3.解析：
5
2011年十月联考GCT数学真题与精解
