2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）
一、填空（每题3分，共15分） 1.设f?x??x?x，则f??f?x???? .
xx?x? . 2. limx?1lnx?x?13.
?x14?x5?1?4dx? .
?x?2t?1?x?2t?3??4.通过直线L1:?y?3t?2;L2:?y?3t?1的平面方程为 .
?z?2t?3?z?2t?1??5.设z?z?x,y?由方程F??z?z?yz?,??0确定（F为任意可微函数）?y? ，则x?x?y?xx?二、选择题（每题3分，共15分）
1.对于函数y?2?12?11x1x，点x?0是( )
A. 连续点； B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D可去间断点
2.设f?x?可导，F?x??f?x?1?sinx，若欲使F?x?在x?0可导，则必有（ ） A. f??0??0； B. f?0??0；C. f?0??f??0??0；Df?0??f??0??0
??sin?x?y?? （ ） 3. limx?0x?yy?0A. 等于1； B. 等于0；C. 等于?1；D不存在 4.若
?f?x?x0,y0?,?f?y?x0,y0?都存在，则
f?x,y?在?x0,y0? ( )
A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续；
C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设?为常数，则级数
1??sinn????n2? ( )
n?n?1??A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与?取值有关
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三（6分）设f?x?有连续导数，f?0??0,f??0??0，求limx?0?xx200f?t?dtx2?f?t?dtt?0.
?x?t(1?t)?0d2y四（6分）已知函数y?y(x)由参数方程?y确定，求2dx?te?y?1?0.
五（6分）设f?x?,g?x?在?a,b?上可微，且g??x??0，证明存在一点c?a?c?b?，使得
f?a??f?c?f??c?. ??g?c??g?b?g?c???sinx0?x??x?2六（6分）设f?x??x，g?x???，求F?x???f?t?g?x?t?dt.
0??0x???2七（6分）已知u?u?x,y?由方程u?f?x,y,z,t?,g?y,z,t??0,h?z,t??0确定，其中f,g,h都是可微函数，求
?u?u,. ?x?y22八（8分）过抛物线y?x上一点a,a作切线，问a为何值时所作的切线与抛物线y??x?4x?1所
??2围成的平面图形面积最小. 九（8分）求级数
1111???L??L的和. 23n1?32?33?3n?3十（8分）设f?x?在?a,b?上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：
?baf?x?dx?ba12dx??b?a?. f?x?十一（8分）已知两个球的半径分别为a,b(a?b)，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球内的那部分的体积.
十二（8分）计算曲面积分
???x?2?y2?z2?ds，其中?为曲面z?a2?x2?y2(a?0).
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2002年江苏省第六届高等数学竞赛试题（本科一级）
一.填空（每题5分，共40分）
etanx?ex?c?c?0?，则k? ，c? 1.limx?0xk2. 设f?x?在?1,???上可导，下列结论成立的是 A. 若limf??x??0，则f?x?在?1,???上有界B. 若limf??x??0，则f?x?在?1,???上无界
x???x???C. 若limf??x??1，则f?x?在?1,???上无界
x???3. 设由e?y?x?y?x??1?x确定y?y(x)，则y???0?? .
4.arcsinx?arccosxdx? . ??z?x2?y25. 曲线?2，在点?1,1,2?的切线的参数方程为 . 2?x?y?2y?2z?y?x6.设z?f???g?e,siny?，f有二阶连续导数，g有二阶连续偏导数，则?
x?x?y??7. 交换二次积分的次序
?dx?013?xx2f?x,y?dy? . 8.幂级数
?n?1?1111??L?2n?xn的收敛域 .
二.（8分）设In??40tannxdx，求证
11?In??n?2?.
2?n?1?2?n?1?ba三.（8分）设f?x?在?a,b?上连续，四.（8分）求直线体的体积.
?f(x)dx??f(x)exdx?0，求证: f?x?在?a,b?内至少存在两个零点.
abx?1yz??绕y轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与y?0,y?2所包围的立21?1n??1?五.（9分）设k为常数，试判断级数?的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？ 2kn?2n?lnn??1?yarctan?x2?y2六.（9分）设f?x,y????0??x,y???0,0??x,y???0,0?讨论f?x,y?在?0,0?连续性，可偏导性与可微性.
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七.（9分）设f?u?在u?0可导，f?0??0,D:x2?y2?2tx,y?0，求lim?t?01t4??Df?x2?y2ydxdy
?八.（9分）设曲线AB的方程为x2?y2?4y?3?x?0?，一质点P在力F作用下沿曲线AB从A?0,1?运
urur动到B?0,3?，力F的大小等于P到定点M?2,0?的距离，其方向垂直于线段MP，且与y轴正向的夹角ur为锐角，求力F对质点P做得功.
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2004年江苏省第七届高等数学竞赛试题（本科一级）
一.填空（每题5分，共40分）
k1.x?0时，x?sinx?cosx?cos2x与cx为等价无穷小，则c? 2. lim?xarctanx??3. lim?n????1??? x?x2?12?n?4?1n2?16?L??n???? 22n?4n?14. f?x??x4ln?1?x?,n?4时f5.
?0?? ??cosx?sinx?dx?
2x?sinx?cosx6.
n? . ?nn?12?n?1??7.设f?x,y?可微，f?1,2??2,fx??1,2??3,fy??1,2??4，??x??fx,f?x,2x?，则???1?? . 8. 设f?x??g?x??????x0?x?1，D为???x???,???y???，则??f?y?f?x?y?dxdy? .
其他?0D二．（10分）设f??x?在?a,b?上连续，f?x?在?a,b?内二阶可导，f(a)?f(b)?0，求证:
1) ?a,b?内至少存在一点?使得f?????f22?baf(x)dx?0，
???；2）?a,b?内至少存在一点?,???,使得f??????f???
三.（10分）设D:x?y?4x,y??x，在D的边界y??x上任取点P,设P到原点距离为t，作PQ垂直于y??x，交D的边界x?y?4x于Q
1）试将P,Q的距离PQ表示为t的函数；2）求D饶y??x旋转一周的旋转体的体积.
四（10分）已知点P(1,0,-1),Q(3,1,2),在平面x-2y+z=12上求一点M，使PM+MQ最小. 五（10分）求幂级数
22?n?1?n3n???2??1n?xn的收敛域.
六（10分）求证：??32????3x?2y?2z?5dxdydz?3?，其中?:x2?y2?z2?1.
七（10分）设f?x?连续，可导，f?1??1，G为不含原点单连通域，任取M,N?G，
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江苏高等数学竞赛历年试题(本一)
