课时素养评价 八 全称量词命题与存在量词命题的否定
(15分钟 30分)
1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 ( ) A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】选D.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”是一个全称量词命题,其否定一定是一个存在量词命题,故排除A,B,结合全称量词命题的否定方法,我们易得命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.
2.(2024·潍坊高一检测)命题“?x∈(0,+∞),x+≥3”的否定是 ( )
A.?x∈(0,+∞),x+≤3
B.?x∈(0,+∞),x+<3
C.?x∈(0,+∞),x+<3
D.?x∈(0,+∞),x+≤3
【解析】选C.命题“?x∈(0,+∞),x+≥3”的否定是:否定存在量词和结论,故为:?x∈(0,+
∞),x+<3.
3.下列全称量词命题的否定是假命题的个数是 ①所有能被3整除的数都能被6整除; ②所有实数的绝对值是正数; ③三角形的外角至少有两个钝角.
- 4 -
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.①该命题的否定:存在能被3整除的数不能被6整除”如3是能被3整除,不能被6整除的数,这是一个真命题;②该命题的否定:?x=0∈R,|0|=0,不是正数,这是一个真命题;③该命题的否定:存在一个三角形,其外角最多有一个钝角,这是一个假命题. 4.命题“至少有一个正实数x满足方程x+2(a-1)x+2a+6=0”的否定是 . 【解析】把量词“至少有一个”改为“所有”,“满足”改为“都不满足”得命题的否定. 2
答案:所有正实数x都不满足方程x2
+2(a-1)x+2a+6=0 【补偿训练】
命题“?x>-1,x2
+x-2 019>0”的否定是 . 【解析】该命题的否定是“?x>-1,x2
+x-2 019≤0”. 答案:?x>-1,x2
+x-2 019≤0 5.写出下列命题的否定,并判断真假: (1)直角相等.
(2)等圆的面积相等,周长相等. (3)有的三角形为正三角形.
(4)?x>0,x+1>.
【解析】(1)该命题的否定:有些直角不相等.这是一个假命题.
(2)该命题的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.这是一个假命题. (3)该命题的否定:所有的三角形都不是正三角形.这是一个假命题.
(4)该命题的否定:?x>0,使x+1≤.
因为x+1-=+>0,所以?x>0,x+1>是真命题,它的否定是假命题.
(20分钟 40分) 一、单选题(每小题5分,共15分)
1.“对于任意a>0,关于x的方程x3
+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是 ( )
A.对于任意a≤0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根
- 4 -
B.对于任意a>0,关于x的方程x+ax+1=0至少有四个实数根 C.存在a>0,关于x的方程x+ax+1=0至多有三个实数根 D.存在a>0,关于x的方程x+ax+1=0至少有四个实数根
【解析】选D.全称量词“任意”改为存在量词“存在”,另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”.
2.已知命题p:?x∈(1,3),x-a≥0;若p的否定是真命题,则实数a的取值范围是 ( ) A.a<1 C.a≤3
B.a>3
33
3
D.a≥3
【解析】选D.p的否定是“?x∈(1,3),x-a<0”,此命题是真命题,即a>x对 ?x∈(1,3)恒成立,所以a≥3.
3.命题“?a,b∈R,使方程ax=b都有唯一解”的否定是 A.?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一 B.?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一 C.?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在 D.?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在
【解析】选D.该命题的否定:?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在. 【误区警示】解答本题,在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况. 二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分) 4.(2024·济南高一检测)下列命题正确的是 ( )
( )
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“若x<1,则x<1”的否定是“存在x<1,则x≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的必要而不充分条件 D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
2
2
2
2
【解析】选ABD.A正确.“a>1”可推出“<1”,但是当<1时,a有可能是负数,所以“<1”
推不出“a>1”,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件;B正确.由全称量词命题的否定方法可知.C.错误.当x=-3,y=3时,x+y≥4,但是“x≥2且y≥2”不成立,所以“x+y≥4”推不出
2
2
2
2
- 4 -
“x≥2且y≥2”,所以“x≥2且y≥2”不是“x+y≥4”的必要条件.D正确.“a≠0”推不出“ab≠0”,但“ab≠0”可推出“a≠0”,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件. 三、填空题(每小题5分,共10分)
5.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为 ,此命题的否定是 ,是 (填“真”或“假”)命题.
【解析】此命题用符号表示为?x,y∈R,x+y>1,此命题的否定是?x,y∈R,x+y≤1, 原命题为真命题,所以它的否定为假命题. 答案:?x,y∈R,x+y>1 ?x,y∈R,x+y≤1 假
22
6.命题“对于任意三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+中至少有一个不小于2”的否定是 .
【解析】该命题的否定:存在三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+全小于2.
答案:存在三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+全小于2 四、解答题
7.(10分)已知集合A=,集合B=,
如果命题“?m∈R,使得A∩B≠?”为假命题,求实数a的取值范围.
【解析】因为“?m∈R,使得A∩B≠?”为假命题,所以它的否定“?m∈R,使得A∩B=?”为真
2
命题,当a<0时,A=
2
=?,符合A∩B=?;当a≥0时,因为m+3>0,所以由?m∈
2
R,A∩B=?可得a 综上,实数a的取值范围为a<3. - 4 -
2024_2024学年新教材高中数学课时素养评价八全称量词命题与存在量词命题的否定含解析北师大版必修1
