判定△AB1D∽△ACB1；通过证明△ABD∽△B1CD，利用相似三角形的性质列式计算对⑤作出判断．
【解答】解：由旋转的性质可知AC1＝AC， ∴△AC1C为等腰三角形，即①正确； ∵∠ACB＝30°， ∴∠C1＝∠ACB1＝30°， 又∵B1AC1＝∠BAC＝45°， ∴∠AB1C＝75°，
∴∠CAB1＝180°﹣75°﹣30°＝75°， ∴CA＝CB1； ∴②正确；
∵∠CAC1＝∠CAB1+∠B1AC1＝120°， ∴旋转角α＝120°，故③错误； ∵∠BAC＝45°，
∴∠BAB1＝45°+75°＝120°， ∵AB＝AB1，
∴∠AB1B＝∠ABD＝30°， 在△AB1D与△BCD中，
∵∠ABD＝∠ACB1，∠AB1D＝∠BCD＝30°， ∴△AB1D∽△ACB1，即④正确； 在△ABD与△B1CD中，
∵∠ABD＝∠ACB1，∠ADB＝∠CDB1， ∴△ABD∽△B1CD， ∴
＝
，
如图，过点D作DM⊥B1C，
设DM＝x，则B1M＝x，B1D＝
x，DC＝2x，DC＝2x，CM＝
x，
∴AC＝B1C＝（+1）x，
﹣1）x，
＝
，即⑤正确．
∴AD＝AC﹣CD＝（∴
＝
＝
故答案为：①②④⑤． 三．解答题（共8小题）
19．计算：（﹣）2+（π﹣3）0+|1﹣
﹣
|+tan45°
【分析】第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项去绝对值，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，最后合并即可得出结论． 【解答】解：（﹣）2+（π﹣3）0+|1﹣
﹣
|+tan45°
＝4+1+＝
﹣1+1
+5．
20．先化简再求值：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣5x（x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣，y＝﹣1． 【分析】原式利用平方差公式，单项式乘多项式法则，以及完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝9x2﹣4y2﹣5x2+5xy﹣4x2+4xy﹣y2 ＝9xy﹣5y2，
当x＝﹣，y＝﹣1时，原式＝3﹣5＝﹣2．
21．为响应“书香学校，书香班级”的建设号召，平顶山市某中学积极行动，学校图书角的新书、好书不断增加．下面是随机抽查该校若干名同学捐书情况统计图： 请根据下列统计图中的信息，解答下列问题
（1）此次随机调查同学所捐图书数的中位数是 4本 ，众数是 2本 ；
（2）在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是多少度？ （3）若该校有在校生1600名学生，估计该校捐4本书的学生约有多少名？
【分析】（1）根据捐2本的学生所占的百分比和人数可以求得本次调查的学生数，从而可以得到中位数和众数；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是多少度；
（3）根据统计图中的数据可以计算出该校捐4本书的学生约有多少名． 【解答】解：（1）本次调查的人数为：15÷30%＝50（人）， 捐书四本的学生有50﹣9﹣15﹣6﹣7＝13（人），
则此次随机调查同学所捐图书数的中位数是4本，众数是2本， 故答案为：4本，2本；
（2）在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是：360°×答：捐2本书的人数所占的扇形圆心角是108度． （3）1600×
＝416（名），
＝108°；
答：该校捐4本书的学生约有416名．
22．如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F． （1）求证：BF＝BC；
（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．
【分析】（1）要求证：BF＝BC只要证明∠CFB＝∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE＝∠BDC就可以；
（2）已知AB＝4cm，AD＝3cm，就是已知BC＝BF＝3cm，CD＝4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于BD?CE＝BC?DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF＝BF﹣BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°， ∴∠CDB+∠DBC＝90°．
∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°． ∴∠ECB＝∠CDB．
∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF， ∴∠CFB＝∠BCF ∴BF＝BC
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）． 在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝又∵BD?CE＝BC?DC， ∴CE＝∴BE＝
∴EF＝BF﹣BE＝3﹣∴CF＝
．
cm．
．
．
＝5．
23．湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【分析】（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；
（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元， 根据题意得，2x+3×3x＝550， ∴x＝50，
经检验，符合题意， ∴3x＝150元，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买温馨提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个， 根据题意得，∴50≤y≤52， ∵y为正整数，
∴y为50，51，52，共3种方案；
即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
根据题意，费用为50y+150（100﹣y）＝﹣100y+15000， 当y＝52时，所需资金最少，最少是9800元．
24．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE （1）求证：∠C＝∠BED； （2）若∠C＝50°，AB＝2，则
的长为（结果保留π）
，
【分析】（1）连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠BAC＝90°，则利用等角的余角相等得到∠DAB＝∠C，然后根据圆周角定理和等量代换得到结论；
（2）连接OD，如图，利用（1）中结论得到∠BED＝∠C＝50°，再利用圆周角定理得到∠BOD的度数，然后根据弧长公式计算【解答】（1）证明：连接AD，如图，
的长度．
2020年中考数学二模试卷(含答案)
