信号系统Z变换习题讲解
7-1 分别绘出下列各序列的图形。
（1）x[n]?(1/2)nu[n] （2）x[n]?2nu[n] （3）x[n]?(?1/2)nu[n] （4）x[n]?(?2)nu[n] 解：
x[n] 1
01234n (1) x[n]1
13 024n
-1
(3)
7-2 分别绘出下列各序列的图形。
（1）x[n]??nu[?n] （2）x[n]?2?nu[n] 解：
x[n]
-4-3-2-10n (1) x[n] 113 024n
(3)
x[n]101234n(2)x[n]113024n(4)3）x[n]?(?1/2)?nu[n] （4）x[n]??(1/2)nu[?n] x[n]101234n(2)x[n]-4-3-2-10n-1(4) （7-3 分别绘出下列各序列的图形。
?n???n???x[n]?sinx[n]?cos?? ?? （2）?（1）
5???105?解：
x[n]
(2)-3012717-501510n(1)x[n]n
7-5 序列x[n]如图题7-5所示，把x[n]表示为?[n]的加权与延迟之线性组合。
图 题7-5
解： x[n]??2?[n?3]??[n]?3?[n?1]?2?[n?3]
7-7 求下列序列的z变换X(z)，并注明收敛域，绘出X(z)的零极点图。
（1）(1/2)u[n] +? [n] （4）(1/2)n{u[n] ? u[n?8]} （5）? [n] ?5? [n?2]
?n1解：(1)X(z)??[(2)u[n]??[n]]zn???zz?122z??1?z?12121?n?n??(2zn?0121??1)?n?n????[n]z?n
?z?jIm(z) 1/4 1/2 Re(z)
?(4)X(z)?1?(?1?1212z?n???(127)(u[n]?u[n?8])z8n?n??n?0(12)zn?n?1)8z?z?(12)128z?0)z?17(z?jIm(z) (7) 1/2 Re(z)
?(5)X(z)??n???(?[n]?15z?215?[n?2])z?n
z?0?1?jIm(z) ?55(2) 55Re(z)
7-8 求双边序列x[n] =(1/2)|n|的z变换，标明收敛域及绘出零极点图。 解：
??1?X(z)????n????(1212)nz?n?(?n???()n12)?nz?n??n?0(12)zzn?n
??n?1(z)?n?n?012z?(12)z1?(12)z?z?12?(32)z(z?12)(z?2)12?z?2jIm(z) 1/2 2 Re(z)
7-11 画出X(z) =
?3z2?5z?1?1?2z?2的零极点图，在下列三种收敛域下，哪种情况对应左
边序列，哪种情况对应右边序列，哪种情况对应双边序列? 并求出各对应序列。 （1）解：
z> 2 （2）
z < 0.5 （3）0.5 <
z< 2
?X(z)??3z?1?1?22?5z?2z?3z3z???22z?5z?22(z?2)(z?1)23?X(z)112???1zz?12z?2(z?2)(z?)2
zz?X(z)??z?12z?2（1） 当z?2时，x[n]为右边序列
x[n]?[(12)n?2]u[n]n
（2） 当z?0.5时，x[n]为左边序列
x[n]?[?(12)n?2]u[?n?1]
n（3） 当0.5?z?2时，x[n]为双边序列
x[n]?(
12)u[n]?2u[?n?1]
nn17-13 已知X(z) = ?1?1??1?1?z?(1?2z)2??。
（1）确定与X(z)有关的收敛域可能有几种情况，画出各自的收敛域图； （2）求以上各种收敛域所对应的离散时间序列的表达式； （3）以上序列中哪一种序列存在傅氏变换?
解：
?X(z)?1(1?12z?1)(1?2z?1)?z2
(z?12)(z?2)X(z)z?z(z?12)(z?2)z3(z?12)???13(z?12)4z?43(z?2)
?X(z)??3(z?2)（1）收敛域可能有三种情况：z?2,z?12,12?z?2 |z|>2
2 Re(z) |z|<1/2
1/2<|z|<2 1/2 Re(z)
Re(z) jIm(z) jIm(z) jIm(z)
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