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二 计算坐标与坐标方位角的基本公式
控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式。
一、坐标正算和坐标反算公式 1．坐标正算
根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。
如图5—5所示，已知A点的坐标为xA、A，A到B的边长和坐标方位角分别为SAB和
y?AB，则待定点B的坐标为
xB?xA??xAByB?yA??yAB ｝ （5—1）
式中 ?xAB 、?yAB——坐标增量。
由图5—5可知
?xAB?SABcos?AB?yAB?SABsin?AB ｝ （5—2）
式中 SAB——水平边长；
?AB——坐标方位角。
将式（5-2）代入式（5-1），则有
xB?xA?SABcos?AByB?yA?SABsin?AB ｝ （5—3）
当A点的坐标xA、yA和边长SAB及其坐标方位角?AB为已知时，就可以用上述公式计算出待定点B的坐标。式（5—2）是计算坐标增量的基本公式，式（5—3）是计算坐标的基本公式，称为坐标正算公式。
从图5—5可以看出?xAB是边长SAB在x轴上的投影长度，?yAB是边长SAB在y轴上的投影长度，边长是有向线段，是在实地由A量到B得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种 情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5—6所示。从式（5—2）知，由于
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三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表5—3。
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图5—5 坐标计算 图5—6 坐标增量符号 表5—3 坐标增量符号表
坐标方位角 （°） 0～90 90～180 180～270 270～360 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 所在象限 坐标增量的正负号 ⊿x ＋ － － ＋ ⊿y ＋ ＋ － － 例1 已知A点坐标xA=100.00m，yA=300.10m；边长sAB=100m，方位角?AB=330°。求B点的坐标xB、yB。
解：根据公式（5—3）有
xB?xA?sABcos?AB?100?100?cos330??186.1myB?yA?sABsin?AB?300.1?100?sin330??249.6m
2、坐标反算
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由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角和边长，这种计算称为坐标反算。
由式（5—1）有
?xAB?xB?xA?yAB?yB?yA ｝ （5—4）
该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。在图5—5中?xAB 表示由A点到达B点的纵坐标之差称纵坐标增量； ?yAB表示由A点到B点的横坐标之差称横坐标增量。坐标增量也有正负两种情况，它们决定于起点和终点坐标值的大小。
在图5—5中如果A点到B点的坐标已知，需要计算AB边的坐标方位角?AB和边长时
SAB，
则有
tan?AB?SAB?yB?yA?yAB?xB?xA?xAB
?xAB?yAB? ｝ (5—5)
cos?ABsin?AB或 SAB???xAB?2???yAB?2
公式（5—5）称为坐标反算公式。应当指出，使用公式（5—5）中第一式计算的角是象限角R，应根据⊿x、⊿y的正负号，确定所在象限，再将象限角换算为方位角。因此公式（5-—5）中的第一式还可表示为：
RAB?arctanyB?yA?y?arctanAB
xB?xA?xAB例2．已知xA=300m, yA=500m,xB=500m,yB=300m,求A、B二点连线的坐标方位角?AB和边长SAB。
解：由公式（5-5）有
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RAB?arctanyB?yA300?500?arctan?arctan(?1)
xB?xA500?300因为?xAB为正 、?yAB为负，直线AB位于第四象限。所以RAB?NW45? 根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得：
?AB?360??45??315?
AB边长为：
SAB?(xB?xA)2?(yB?yA)2?(500?300)2?(300?500)2?282.8m
坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的公式，应用十分广泛。 在测量计算时，由于公式中各元素的数字较多，测量规范对数字取位及计算成果作了规定。例如图根控制点要求边长计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。
二、坐标方位角的推算公式
由公式（5-2）知，计算坐标增量需要边长和该边的坐标方位角两个要素，其中边长是 在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的，坐标方位角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。下面介绍坐标方位角的推算公式。
如图5-7所示，箭头所指的方向为“前进”方向，位于前进方向左侧的观测角称为左观测角，简称左角；位于前进方向右侧的角称为右观测角，简称右角。
1.观测左角时的坐标方位角计算公式
在图5—7与5—8中，已知AB边的方位角为?AB，?左为左观测角，需要求得BC边的方位角?BC。?左是外业观测得到的水平角，从图上可以看出已知方位角?AB与左观测角
?左之和有两种情况：即大于180°或小于180°。图5—7中为大于180°的情况，图5—8
中为小于180°的情况。
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已知两点坐标求方位角
