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高中数学 编稿老师 空间向量巧解平行、垂直关系 刘咏霞 一校 黄楠 二校 杨雪 审核 郑建彬
一、考点突破 知识点 课标要求 1. 能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直。 2. 理解直线的方向向量与平面的空间向量巧解 平行、垂直关系 法向量。 3. 能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题，体会向量方法在立体几何中的作用。 选择题 填空题 解答题 注意用向量方法解决平行和垂直问题中坐标系的建立以及法向量的求法。 题型
说明
二、重难点提示
重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。 难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。
考点一：直线的方向向量与平面的法向量
1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。
2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作
a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。
【核心归纳】
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① 一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。
② 在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。 【随堂练习】
已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量的单位向量是（ ）
A. （1，1，1） B. (C. (,,)
1113333,33,D. (333,) 3333,?) 33uuuruuur答案：设平面ABC的一个法向量为n＝（x，y，z），AB＝（0，－1，1），BC＝（－
uuur?AB·n??y?z?0uuuruuur??n??x?y?0，∴x＝y＝z， 1，1，0），AC＝（－1，0，1），则?BC·r?uuun??x?z?0??AC·又∵单位向量的模为1，故只有B正确。
技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： （1）设出平面的法向量为n＝（x，y，z）。
（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，b2，c2）。 （3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组?（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。
a?0?n· b?0.?n·
考点二：用向量法证明空间中的平行关系、垂直关系
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，b2，c2），则l∥m?a∥b?（a1，b1，c1）＝k（a2，b2，c2） 设l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），α的法向量为u＝（a2，b2，c2）， 则l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 设α，β的法向量分别为u＝（a1，b1，c1），v＝（a2，b2，c2）， 则α∥β?u∥v?（a1，b1，c1）＝k（a2，b2，c2） 设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，b2，c2），则l⊥m?a⊥b?a·b＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 设l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），α的法向量为u＝（a2，b2，c2）， 则l⊥α?a∥u?a＝ku?（a1，b1，c1）＝k（a2，b2，c2）（k∈R） 设α，β的法向量分别为u＝（a1，b1，c1），v＝（a2，b2，c2）， 则α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ,.
【核心突破】
① 用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。
② 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题。 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
例题1 （浙江改编）如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，
AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC。
证明：PQ∥平面BCD。
思路分析：利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。
答案：证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz。
由题意知，A（0，2，2），B（0，－2，0），D（0，2，0）。
uuuruuur?3231??y,设点C的坐标为（x0，y0，0）。因为AQ?3QC，所以Q?x0,。 ?0?4?442??1??因为M为AD的中点，故M（0，2，1），又P为BM的中点，故P?0,0,?，
2??,.
uuur?3?23所以PQ＝?x0,。 ?y,0?0?4?44??uuur又平面BCD的一个法向量为a＝（0，0，1），故PQ·a＝0。
又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD。
技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理，可证直线的方向向量与平面内某一向量平行，也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。
例题2 如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱）ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点。求证：AB1⊥平面A1BD。
思路分析：证明线面垂直可以通过证明线与面的法向量平行来实现。
答案：证明：如图所示，取BC的中点O，连接AO，因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC。
∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，
uuuruuuurruuu取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（－1，1，0），A1（0，2，3），A（0，0，
3），B1（1，2，0）。
uuuruuuruuur，BD＝（－2，1，0）。AB1=（1，2，?3） BA1＝（－1，2，3）
设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），
uuuruuuruuur??n?BA1?0???x?2y?3z?0??因为n⊥BA1，n⊥BD，故?uuu， r?n?BD?0???2x?y?0?令x＝1，则y＝2，z＝－3，故n＝（1，2，－3）为平面A1BD的一个法向量，
uuuruuuruuur而AB1＝（1，2，－3），所以AB1＝n，所以AB1∥n，故AB1⊥平面A1BD。
平面的法向量平行。
技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与
例题3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为
BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C。
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思路分析：建系写出坐标，分别求出两个平面的法向量，证明两个平面垂直。 答案：证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），A1（2，0，1），C（0，2，0），C1（0，2，1），E（0，0，
uuuruuuruuuuruuur则AA1＝（0，0，1），AC＝（－2，2，0），AC1＝（－2，2，1），AE＝（－2，10，）。
2uuur?AA1?0?z?0?n1·设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝（x，y，z），则?uuu ??r?2x?2y?0AC?0???n1·令x＝1，得y＝1，∴n1＝（1，1，0）。 设平面
1）， 2AEC1的一个法向量为n2＝（x0，y0，z0），则
uuuur??2x0?2y0?z0?0?n·AC?0??21 ??r?uuu1?2x0?z0?0AE?0???n2·?2
空间向量巧解平行,垂直关系
