最全教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》 - 图文

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教师版2015高中数学必修+选修知识点归纳

引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。

选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：

重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，

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立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充

要条件

⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用

⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列

求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、 不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、 线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥 曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用

⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、

平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量

⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理

及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正

态分布

⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用

⒀复数：复数的概念与运算

必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念

§1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体

叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：N*或N?，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R. 4、集合的表示方法：列举法、描述法.

§1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作A?B. 2、 如果集合A?B，但存在元素x?B，且x?A，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.

3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规

定：空集合是任何集合的子集. .

4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子

集，2n?1个真子集.

§1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的

集合，称为集合A与B的并集.记作：A?B. 2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组

成的集合，称为A与B的交集.记作：A?B. 3、全集、补集？CUA?{x|x?U,且x?U} §1.2.1、函数的概念

1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应

关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f?x?和它对应，那么就称f:A?B为集合A到集合B的一个函数，记作：y?f?x?,x?A. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法

1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法：

(1)定义法：设x1、x2?[a,b],x1?x2那么

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是增函数； f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是减函数.

步骤：取值—作差—变形—定号—判断

格式：解：设x1,x2??a,b?且x1?x2，则：

f?x1??f?x2?=…

(2)导数法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，若f?(x)?0，则f(x)为增函数； 若f?(x)?0，则f(x)为减函数. §1.3.2、奇偶性

1、 一般地，如果对于函数f?x?的定义域内任意一个

x，都有f??x??f?x?，那么就称函数f?x?为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

2、 一般地，如果对于函数f?x?的定义域内任意一个

x，都有f??x???f?x?，那么就称函数f?x?为

奇函数.奇函数图象关于原点对称.

知识链接：函数与导数 1、函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义：

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函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在

P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方

程是y?y0?f?(x0)(x?x0). 2、几种常见函数的导数 ①C'?0；②(xn)'?nxn?1； ③

(sinx)'?cosx； ④(cosx)'??sinx；

⑤(ax)'?axlna； ⑥(ex)'?ex； ⑦

(logax)'?1xlna；⑧(lnx)'?1x

3、导数的运算法则 （1）(u?v)'?u'?v'. （2）(uv)'?u'v?uv'.

（3）(u'u'v?uv'v)?v2(v?0). 4、复合函数求导法则 复合函数y?f(g(x))的导数和函数

y?f(u),u?g(x)的导数间的关系为yx??yu??ux?，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义：

极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值；

极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＞f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值. (2)判别方法：

①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0， a?1 0?a?1 图 象 11-4-20-1 -4-20-1 (1)定义域：R 性 （2）值域：（0，+∞） 质 （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 4在 R上是增函数 （4）在R上是减函数 (5)x?0,ax?1; (5)x?0,0?ax?1x?0,0?ax?1 x?0,ax; ?1 那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，

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那么f(x0)是极小值. 6、求函数的最值 (1)求y?f(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值） (2)将y?f(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；1、记住图象：y?a?a?0,a?1?

x y=ax

a>10

1

o

yx最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。

第二章：基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算

1、 一般地，如果xn?a，那么x叫做a 的n次方根。

其中n?1,n?N?. 2、 当n为奇数时，nan?a；

当n为偶数时，nan?a. 3、 我们规定： n ⑴am?man

?a?0,m,n?N*,m?1?；

⑵a?n?1an?n?0?； 4、 运算性质： a?1 0?a?1 2.52.51.5图 1.5110.50.5-1象 0-1-0.510-0.51-1-1-1.5-1.5-2-2.5 -2-2.5 (1)定义域：（0，+∞） 性 （2）值域：R 质 （3）过定点（1，0），即x=1时，y=0 （4）在 （0，+∞）上（4）在（0，+∞）上是增函数 是减函数 (5)x?1,log,logax?0； (5)x?1,loglogax?0； 0?x?1ax?00?x?1,ax?0 ⑴aras?ar?s?a?0,r,s?Q?；

⑵?ar?s?ars?a?0,r,s?Q?；

⑶?ab?r?arbr?a?0,b?0,r?Q?.

§2.1.2、指数函数及其性质

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2、性质：

§2.2.1、对数与对数运算

1、指数与对数互化式：ax?N?x?logaN；

2、对数恒等式：alogaN?N.

3、基本性质：loga1?0，logaa?1. 4、运算性质：当a?0,a?1,M?0,N?0时： ⑴loga?MN??logaM?logaN； ⑵log?M?a??N???logaM?logaN； ⑶lognaM?nlogaM.

5、换底公式：loglogcbab?log ca?a?0,a?1,c?0,c?1,b?0?.

6、重要公式：logmmanb?nlogab 7、倒数关系：log1ab?log?a?0,a?1,b?0,b?1?.

ba§2..2.2、对数函数及其性质

1、记住图象：y?logax?a?0,a?1? y y=logax

0

o1x

a>12、性质：

§2.3、幂函数

1、几种幂函数的图象：

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第三章：函数的应用

§3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程f?x??0有实根

?函数y?f?x?的图象与x轴有交点 ?函数y?f?x?有零点. 2、 零点存在性定理： 如果函数y?f?x?在区间?a,b? 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f?a??f?b??0，那么函数

y?f?x?在区间?a,b?内有零点，即存在c??a,b?，

使得f?c??0，这个c也就是方程f?x??0的根. §3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法.

§3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例

1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.

必修2数学知识点 第一章：空间几何体 1、空间几何体的结构

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下

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的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；S侧面?2??r?l

⑵圆锥侧面积：S侧面???r?l

⑶圆台侧面积：S侧面???r?l???R?l ⑷体积公式：

V柱体?S?h；V锥体?13S?h； V台体?13?S上?S上?S下?S下?h ⑸球的表面积和体积：

S4?R2，V43球?球?3?R.

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。

7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。

8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行：

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的

任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。 10、面面平行：

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，

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那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。 ⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。

第三章：直线与方程

1、倾斜角与斜率：k?tan??y2?y1x

2?x12、直线方程： ⑴点斜式：y?y0?k?x?x0? ⑵斜截式：y?kx?b

⑶两点式：y?y1y2?y1x?x? 1x2?x1⑷截距式：

xa?yb?1 ⑸一般式：Ax?By?C?0

3、对于直线： l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2有：

⑴l?k1?k21//l2???b；1?b

2⑵l1和l2相交?k1?k2；

⑶l???k1?k21和l2重合b?b；

?12⑷l1?l2?k1k2??1. 4、对于直线： .

l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0有：

⑴l?A1B2?A2B11//l2???B1C2?B；

2C1⑵l1和l2相交?A1B2?A2B1； ⑶l?A2B11和l2重合???A1B2?B；

?B1C22C1⑷l1?l2?A1A2?B1B2?0.

5、两点间距离公式： P1P2??x2?x1?2??y2?y1?2

6、点到直线距离公式： d?Ax0?By0?CA2?B2

7、两平行线间的距离公式： l1：Ax?By?C1?0与l2：Ax?By?C2?0平行，

则d?C1?C2A2?B2

第四章：圆与方程 1、圆的方程： ⑴标准方程：?x?a?2??y?b?2?r2

其中圆心为(a,b)，半径为r.

⑵一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0. 其中圆心为(?D2,?E2)，半径为r?12D2?E2?4F. 2、直线与圆的位置关系 直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种:

d?r?相离???0; d?r?相切???0;

d?r?相交???0.

弦长公式：l?2r2?d2

?1?k2(x1?x22)?4x1x2