高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书
及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分，共20分）
y(x?y)ln(1?)xdxdy?____________，其中区域D由直线x?y?1与两1．计算??D1?x?y坐标轴所围成三角形区域.
解: 令x?y?u,x?v，则x?v,y?u?v，dxdy?det??1??01??dudv?dudv， ??1?y(x?y)ln(1?)ulnu?ulnvxdxdy???D1?x?y??D1?ududv
uulnuuudv?lnvdv)du??0001?u1?u 21ulnuu(ulnu?u)???du01?u1?u??(1??令t?1?u，则u?1?t2
10u2du （*） 1?udu??2tdt，u2?1?2t2?t4，u(1?u)?t2(1?t)(1?t)，
(*)??2?(1?2t2?t4)dt10
1?2?101?16?2 (1?2t2?t4)dt?2?t?t3?t5??5?015?32．设f(x)是连续函数，且满足f(x)?3x2?解: 令A??20f(x)dx?2, 则f(x)?____________.
?20f(x)dx，则f(x)?3x2?A?2，
A??20(3x2?A?2)dx?8?2(A?2)?4?2A,
410。因此f(x)?3x2?。 33解得A?x2?y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是__________. 3．曲面z?2x2?y2?2在解: 因平面2x?2y?z?0的法向量为(2,2,?1)，而曲面z?2(x0,y0)处
的
法
向
量
为
(zx(x0,y0),zy(x0,y0),?1)，故
(zx(x0,y0),zy(x0,y0),?1)与(2,2,?1)平行，因此，由zx?x，zy?2y知2?zx(x0,y0)?x0,2?zy(x0,y0)?2y0，
即x0?2,y0?1，又z(x0,y0)?z(2,1)?5，于是曲面2x?2y?z?0在
(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x?2)?2(y?1)?(z?5)?0，即曲面
x2z??y2?2平行平面
22x?2y?z?0的切平面方程是2x?2y?z?1?0。
4．设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则
d2y
?________________. dx2
解: 方程xef(y)?eyln29的两边对x求导，得
ef(y)?xf?(y)y?ef(y)?eyy?ln29
因eyln29?xef(y)，故
11，因此 ?f?(y)y??y?，即y??x(1?f?(y))xd2y1f??(y)y????y??? 222??dxx(1?f(y))x[1?f(y)]f??(y)1f??(y)?[1?f?(y)]2?2?2? 3x[1?f?(y)]x(1?f?(y))x2[1?f?(y)]3ex?e2x???enxx)，其中n是给定的正整数. 二、（5分）求极限lim(x?0n解 :因
eex?e2x???enxxex?e2x???enx?nxlim()?lim(1?) x?0x?0nn故
eeex?e2x???enx?neA?limx?0nx ex?e2x???enx?n?elimx?0nxex?2e2x???nenx1?2???nn?1?elim?e?e
x?0nn2因此
ex?e2x???enxxlim()?eA?ex?0nen?1e2
三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)?并讨论g?(x)在x?0处的连续性.
解 : 由lim因g(x)?x?0?10f(xt)dt，且limx?0f(x)求g?(x)?A，A为常数，
xf(x)f(x)?A和函数f(x)连续知，f(0)?limf(x)?limxlim?0
x?0x?0x?0xx10?f(xt)dt，故g(0)??f(0)dt?f(0)?0，
01因此，当x?0时，g(x)?1xf(u)du，故 ?0x?limg(x)?limx?0x?0x0f(u)dux?limx?0f(x)?f(0)?0 1当x?0时，
f(x)， ?0xx1xf(t)dtf(t)dt?0?g(x)?g(0)f(x)A0x?lim? g?(0)?lim?lim?limx?02xx?0x?0x?02xxx21xf(x)f(x)1xAAlimg?(x)?lim[?2?f(u)du?]?lim?lim2?f(u)du?A??
0x?0x?0x?0x?0xx0xx22这表明g?(x)在x?0处连续.
g?(x)??x1x2f(u)du?
四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证：
（1）xeL?Lsinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx；
L（2）xe?siny5dy?ye?sinydx??2.
2证 :因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知 （1）xesinydy?ye?sinxdx??L???siny?sinx?(xe)?(?ye)?dxdy ??x???y?D????(esiny?e?sinx)dxdy
D?sinysinxxedy?yedx ?L????????(xe?siny)?(?yesinx)?dxdy
?x?y?D????(e?siny?esinx)dxdy
D而D关于x和y是对称的，即知
siny?sinx?sinysinx(e?e)dxdy?(e?e)dxdy ????DD因此
siny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx ??LL（2）因
t2t4e?e?2(1????)?2(1?t2)
2!4!t?t故
esinx?e?sinx?2?sin2x?2?由
1?cos2x5?cos2x ?22?xeLsinydy?ye?sinydx???(esiny?e?sinx)dxdy???(e?siny?esinx)dxdy
DD知
siny?siny?xedy?yedx?L11siny?sinx(e?e)dxdy?(e?siny?esinx)dxdy ????2D2D?11siny?siny(e?e)dxdy?(e?sinx?esinx)dxdy???(e?sinx?esinx)dxdy ????2D2DD??5?cos2x5dx??2
00225siny?sinydx??2 即 ?xedy?ye2L???(e?sinx?esinx)dx???五、（10分）已知y1?xe?e，y2?xe?e解 设y1?xe?e，y2?xe?e次微分方程
x2xx?xx2xx?xx2x?x，y3?xe?e?e是某二阶常系数
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
x2x?x，y3?xe?e?e是二阶常系数线性非齐
y???by??cy?f(x)
的三个解，则y2?y1?e?x?e2x和y3?y1?e?x都是二阶常系数线性齐次微分方程
y???by??cy?0
的解，因此y???by??cy?0的特征多项式是(??2)(??1)?0，而y???by??cy?0的特征多项式是
?2?b??c?0
???y1??2y1?f(x)和 因此二阶常系数线性齐次微分方程为y???y??2y?0，由y1??ex?xex?2e2x，y1???2ex?xex?4e2x y1???y1??2y1?xe?2e?4e知，f(x)?y1?(1?2x)ex
二阶常系数线性非齐次微分方程为
xx2x?(xex?ex?2e2x)?2(xex?e2x)
y???y??2y?ex?2xex
六、（10分）设抛物线y?ax?bx?2lnc过原点.当0?x?1时,y?0,又已知该抛物线与x轴及直线x?1所围图形的面积为转体的体积最小.
解 因抛物线y?ax?bx?2lnc过原点，故c?1，于是
221.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋3112b?ab?a??(ax?bx)dt??x3?x2??? 302?032?3即
12(1?a) 3而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积
b?V(a)???(ax?bx)dt???(ax2?0012212(1?a)x)2dt 31144a(1?a)?x3dt??(1?a)2?x2dt
00039114??a2??a(1?a)??(1?a)2 5327??a2?x4dt??1即
114V(a)??a2??a(1?a)??(1?a)2
5327令
V?(a)?得
218?a??(1?2a)??(1?a)?0， 532754a?45?90a?40?40a?0
即
4a?5?0
因此
35a??,b?,c?1.
24
?(x)?un(x)?xn?1ex(n?1,2,?), 且un(1)?七、（15分）已知un(x)满足un级数
e, 求函数项n?un?1?n(x)之和.
解
?(x)?un(x)?xn?1ex， un即
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
