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2013北京高考理科数学试题
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}
2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为 A.1 B.
23 C.1321 D.610987 5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与
y=ex关于y轴对称，则f(x)= A.ex?1 B. ex?1 C. e?x?1 D. e?x?1
6.若双曲线x2y2a2?b2?1的离心率为3，则其渐近线方程为
A.y=±2x B.y=?2x C.y??122x D.y??2x 7.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于
A.
43 B.2 C.81623 D.3
?2x?y?1?0,8.设关于x,y的不等式组??x?m?0,表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的
??y?m?0取值范围是
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A.????,?4???? ??1??3?B. ???,3?? C.
???,?2?? D.
????,?5??3?3??
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，
?6)到直线ρsinθ=2的距离等于 10.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= .
11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，PA=3，PD9DB?16，
则PD= ，AB= .
12.将序号分别为1，
2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .
13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R) ，则
??= 14.如图，在棱长为2的正方体
ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演2013年普通高等学校招生统一考试算步骤或证明过程 15. (本小题共13分)
在△ABC中，a=3，b=26，∠B=2∠A. (I)求cosA的值， (II)求c的值
16.( 本小题共13分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天
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（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17. (本小题共14分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BCBD1存在点D，使得AD⊥A1B，并求BC的值. 1
18. (本小题共13分)
设l为曲线C：y?lnxx在点(1，0)处的切线. (I)求l的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方
19. (本小题共14分)
已知A、B、C是椭圆W：x2?y24?1上的三个点，O是坐标原点. (I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.
(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由. 20. (本小题共13分)
已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an?1，an?2…的最小值记为Bn，dn=An－Bn
(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an?4?an)，写出d1，d2，d3，d4的值；
(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列； (III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1
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(精校版)北京市数学(理)卷文档版(有答案)-2024年普通高等学校招生统一考试
