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1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念； 2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义； 3．熟练掌握二元一次方程组的解法. 经典·考题·赏析
【例1】 已知下列方程2xm－1＋3yn＋3＝5是二元一次方程，则m＋n＝ .
【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件： ⑴这个方程中有且只有两个未知数； ⑵含未知数的次数是1；
⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.
【解】根据二元一次方程的概念可知：??m?1?1?n?3?1，解得m＝2,n＝ －2,故
m＋n＝0.
【变式题组】
01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.
⑴2x＋5y＝16 (2)2x＋y＋z＝3 (3)
1x＋y＝21 (4)x2＋2x＋1＝0 (5)2x＋10xy＝5
02．若方程2xa＋1＋3＝y2b－5是二元一次方程，则a＝ ,b＝ .
?03．在下列四个方程组①??4x2?3y?10?4x?y?12?1?2y?0?2x?4y?9，②??7xy?29，③??x，
?2x?3y?4④??7x?8y?5?x?45y?0中，是二元一次方程组的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】（中考）二元一次方程组??3x?2y?7?x?2y?5 的解是 （ ）
. 资料. A． ??x?3 B． ??x?1?y?2 C．??x?4?y?2 D． ??y?2?x?3?y?1 【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案.
本例中，方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选D． 【变式题组】 01．（）若x=1，y=2是方程ax－y＝3的解，则a的值是 （ ）
A．5 B．－5 C．2 D．1 02．（）若二元一次方程的一个解为??x?2?y??1，则此方程可以是 （只
要求写一个）
03.（义乌）已知：∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分
别为x°,y°,下列方程组中符合题意的是 （ ）
A． ??x?y?180?x??x?y?30 B． ?y?180?x?y?30 C． ??x?y?90?x?y?30 D． ?x?y?90??x?y?30 4．（）若??x?2??3ax?by?5?y?1，是二元一次方程组??2，的解，则a＋2b的值
?ax?by?2为 .
【例3】解方程组??x?y?7①
?3x?5y?17
②
.. .
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【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或－1时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得y＝7－x ③,将③带入②可消去y,从而求解.
解：由①得，y＝7－x ③
将③带入②，得 3x＋5(7－x)＝17, 即35－2x＝17 x＝9
故此方程组的解是??x?9?y??2
【变式题组】 1.解方程组：
（）⑴??2x?y?4?x?2y?5 （海淀）⑵??x?4y??1?2x?y?16
（花都）⑶?2x?y?4?3x?y??x?2y?5 （）⑷??5?5x?2y?23
2．方程组??x?y?5?2x?y?5的解满足x＋y＋a＝0,则a的值为 （ ）
A．5 B．－5 C．3 D．－3
【例4】解方程组??2x?y?3①
?3x?5y?11②
【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消
去，原则上尽量选择系数绝对值较小的未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系数符号相同，则相减，若系数符号相反，则相加.
本题中，y的系数绝对值之比为5：1＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y.
解：①×5得，y＝7－x ③
. 资料. ③＋②,得 ，13x＝26 ∴x＝2 将x＝2代入①得 y＝－1 ∴此方程组的解是??x?2?y??1.
【变式题组】 01．()以??x?1?y??1为解的二元一次方程组是 （ ）
A．??x?y?0?x?y?1 B．??x?y?0?x?y?0?x?y??1 C．??x?y?2 D．??x?y?0?x?y??2 02．解下列方程组：
（日照）⑴??x?2y?3?3x?8y?13 （宿迁）⑵??2x?3y??5?3x?2y?12
03．（）已知方程组??ax?by?4?ax?by?2的解为??x?2?y?1，则2a－3b的值为 （ ）
A．4 B．6 C．－6 D．－4
04．已知??2x?y?5?x?2y?6 ①
② ，那么 x－y的值为 ，x＋y的值
为 .
【例5】已知二元一次方程组??3x?2y?2k?12①?4x?3y?4k?2 ②
的解满足x＋y＝6,求
.. .
. . . .
k的值. 【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k而得一个二元一次方程，此方程与x＋y＝6联立，求得x、y的值，从而代入①或②可求得k的值；另一种是直接由方程组解出x、y，其中x、y含有k,即用含k的代数式分别表示x、y，再代入x＋y＝6得以k为未知数的一元一次方程，继而求k的值.
解：①×2，得， 6x＋4y＝4k＋24 ③ ③－②,得 2x＋7y＝22 ④ 由x＋y＝6，得2x＋2y＝12 ⑤，⑤－④,得 －5y＝－10 ∴y＝2 将y＝2代入
x＋y＝6得 x＝4 将??x?4?y?2带入①得 3×4＋2×2＝2k＋12 ∴k＝2. 【变式题组】
01．已知⑴??mx?3ny?1?3x?y?6?5x?ny?n?2与⑵??4x?2y?8有相同的解，则m＝ ,n＝ .
02．方程组??x?y?5?2x?y?5的解满足方程x＋y－a＝0, 那么a的值为 （ ）
A．5 B．－5 C．3 D．－3
03．已知方程组??3x?2y?k?2x?3y?k?3的解x与y的和为8，求k的值.
【例6】解方程组??4(x?3y)?3(x?y)?16①
?3(x?3y)?5(x?y)?12
②
【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式，即（x＋3y）和（x－y）,如果我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解
. 资料. 则将会大大减少运算量，当分别求出x＋3y和x－y的值后，再组成新的方程组可求出x、y的值，此种方法称为换元法.
解：设x＋3y＝a, x－y＝b, 则原方程组可变形为
??4a?3b?16③ ?3a?5b?12 ④
③×3，得 12a＋9b＝12 ⑤ ④×4, 得 12a－20b＝48 ⑥－⑤,得
29b＝0,∴b＝0 将b＝0代入
③，得 a＝4 ∴可得方程组??x?3y?4?x?y?0 故原方程组的解为??x?1?y?1.
【变式题组】
01．解下列方程组：
?x?y?4?3⑴??y?10?2?x?y3?6 ⑵（）???x?4(x?y)?5(x?y)?2?97
??x?y??502．（）若方程组??2a?3b?13?3a?5b?30.9的解是??a?8.3?b?1.2，则方程组
??4(x?2)?3(y?1)?13?3(x?2)?5(y?1)?30.9的解是 （ ） A． ??x?6.3 ??x?8.3??y?2.2B． ? C． ?x?10.3?y?1.2?y?2. D． ?x?10.32?y?0.2
03．解方程组：
.. .
. . . .
??1??x?1?26x?3?1① ?1??2x?2?12y?1?0②
【例7】（第二届“华罗庚杯”中学邀请赛试题）已知：方程组
??ax?by??16?x?cx?20y??224的解应为??8?y??10，小明解此题时把c抄错了，因此得到的解是??x?12?y??13，则a2＋b2＋c2的值为 .
【解法辅导】??x?8?y??10是方程组的解，则将它代入原方程可得关于c的方
程，由题意分析可知：??x?12?y??13是方程ax＋by＝－16的解，由此可得关于a、
b的又一个方程，由此三个方程可求得a、b、c的值.
解：34
【变式题组】
01．方程组??ax?2y?7?x?5?cx?dy?4时，一学生把a看错后得到??y?1，而正确的解是
??x?3?y??1，则a、c、d的值是 （ ） A．不能确定 B．a＝3, c＝1, d＝1 C． c、d不能确定 D． a＝3, c＝2, d＝ －2
. 资料. 02．甲、乙良人同解方程组??Ax?By?2?x?Cx?3y??2，甲正确解得??1?y??1，乙因抄错C，
解得??x?2?y??6，求A、B、C的值.
演练巩固 反馈提高 01．已知方程2x－3y＝5,则用含x的式子表示y是 ，用含y的式子表示
x是 . 02．()已知??x?1?y??1是方程组??ax?by?1?4x?by?2的解，则a＋b＝ .
03．若(x－y)2＋|5x－7y－2|＝0, 则x＝ , y＝ .
04．已知??x?2?y?1是二元一次方程组??ax?by?7?4x?by?1的解，则a－b的值为 .
05．若x3m－n＋y2n－m＝－3是二元一次方程，则m＝ ,n＝ .
06.关于x的方程（m2－4）x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5, 当m＝ 时，
它是一元一次方程，当m＝ 时，它是二元一次方程.
07．（）方程组??3x?7y?9?4x?7y?5的解是 （ ）
A． ??x??2?x??2?x?2?y?1 B． ???3 ?3 ?y? C． ?7??y??7 .. .
. . . .
?x?2D． ????y?3 708．（）已知??x?1?y??1是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是 （ ）
A．1 B．3 C．－3 D． －1
09．（）方程组??x?y?1?2x?y?5的解是 （ ）
A． ??x??1 B??y?2． ?x??2??x?2??y?3 C． ?x?2?y?1 D． ?y??1 10．（）若关于x、y的二元一次方程组??x?y?5k?x?y?9k的解也是二元一次方程3x＋
3y＝6的解，则k的值为 （ ）
A．－34 B． 34 C．443 D．－ 3 11．（怀柔）已知方程组??ax?by?2?ax?by?4的解为??x?3?y?2，求a?2ba?2b的值为多少？
12.解方程组：
⑴（滨州）??2x?2y?6?3x?4y??x?2y??2 ⑵（）?19?x?y?4
. 资料. ?⑶??6(2?3?y)?7(x?3)?6???18(x?3)?5(2
3?y)?513．已知方程组??2x?5y??6?3x?5y?16和方程组??ax?by??4?bx?ay??8的解相同，求代数式3a＋7b的值.
14． 已知方程组??3x?2y?k?2x?3y?k?3的解x与y的和为8，求k的值.
15．（希望杯试题）m为正整数，已知二元一次方程组??mx?2y?10?3x?2y?0有整数解，
求m2的值.
培优升级 奥赛检测 01．当k、b为何值时，方程组??y?kx?b①?y?(3k?1)x?2
②
⑴有唯一一组解 ⑵无解 ⑶有无穷多组解
02．.当k、m的取值符合条件 时，方程组??y?kx?m?y?(2k?1)x?4至少有
一组解.
03．已知：m是整数，方程组??4x?3y?6?6x?my?26有整数解，求m的值.
．若4x－3y－6z＝0,x＋2y－7z＝0, (xyz≠0),则式子5x2?2y2?z2042x2?3y2?10z2的值等
.. .
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