高中
概念 关系 集合 运算 数学知识汇总
1.集合与常用逻辑用语 一组对象的全体. x?A,x?A。 子集 真子集 相等 交集 并集 补集 概念 命题 四种 命题 充分条件 元素特点：互异性、无序性、确定性。 集合与常用逻辑常用用语 逻辑用语 ??A； x?A?x?B?A?B。 x?A?x?B,?x0?B,x0?A?A?B A?B,B?C?A?C n个元素集合子集数2n。 A?B,B?A?A?B AB??x|x?A,且x?B? CU(AB)?(CUA)(CUB) AB??x|x?A,或x?B? CU(AB)?(CUA)(CUB) CU(CUA)?A CUA??x|x?U且x?A? 能够判断真假的语句。 原命题：若p，则q 逆命题：若q，则p 否命题：若?p，则?q 逆否命题：若?q，则?p 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。 p?q，p是q的充分条件 若命题p对应集合A，命题q对应集合充要 则p?q等价于A?B，p?q等必要条件 p?q，q是p的必要条件 B，条件 充要条件 p?q，p,q互为充要条件 价于A?B。 类比集合的并 p?q，p,q有一为真即为真，p,q均为假时才为假。或命题 逻辑 类比集合的交 p?q，p,q均为真时才为真，p,q有一为假即为假。且命题 连接词 类比集合的补 ?p和p为一真一假两个互为对立的命题。 非命题 全称量词 ?，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。 量词 存在量词 ?，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。
2.复数 规定：i2??1；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、虚数单位 乘运算律仍成立。i4k?1,i4k?1?i,i4k?2??1,i4k?3??i(k?Z)。 概念 形如a?bi(a,b?R)的数叫做复数，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。b?0时叫虚数、a?0,b?0时叫纯虚数。 a?bi?c?di(a,b,c,d?R)?a?c,b?d 复数相等 复数 共轭复数 复数 运算 加减法 乘法 除法 几何意义 实部相等，虚部互为相反数。即z?a?bi，则z?a?bi。 (a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i，(a,b,c,d?R)。 (a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i，(a,b,c,d?R) (a?bi)?(c?di)?ac?bdbc?da?i(c?di?0,a,b,c,d?R) c2?d2c2?d2一一对应一一对应?复平面内的点Z(a,b)?????向量OZ 复数z?a?bi????向量OZ的模叫做复数的模，z?a2?b2 大多数复数问题，主要是把复数化成标准的z?a?bi的类型来处理，若是分数形式z=a?bi，则首c?di先要进行分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），在进行四则运算时，可以把i看作成一个独立的字母，按照实数的四则运算律直接进行运算，并随时把i2换成-1 3.平面向量 向量 重要概念 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 长度为0，方向任意的向量。【0与任一非零向量共线】 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。 起点放在一点的两向量所成的角，范围是?0,??。a,b的夹角记为?a,b?。 0向量 平行向量 向量夹角 投影 ?a,b???，bcos?叫做b在a方向上的投影。【注意：投影是数量】 重要法则定理 基本定理 共线条件 垂直条件 加法 法则 运算 算律 减法 法则 运算 分解 概念 e1,e2不共线，存在唯一的实数对(?,?)，使a??e1??e2。若e1,e2为x,y轴上的单位正交向量，(?,?)就是向量a的坐标。 一般表示 坐标表示（向量坐标上下文理解） a,b（b?0共线?存在唯一实数?，a??b (x1,y1)??(x2,y2)?x1y2?x2y1 x1y1?x2y2?0。 a?b?ab?0。 a?b的平行四边形法则、三角形法则。 平面向量 a?b?(x1?x2,y1?y2)。 与加法运算有同样的坐标表示。 a?b?b?a，(a?b)?c?a?(b?c) a?b的三角形法则。 MN?ON?OM。 a?b?(x1?x2,y1?y2) MN?(xN?xM,yN?yM)。 数乘 各运算 种算律 运算 概念 数量积运算 主要性质 ??a为向量，??0与a方向相同， ??0与a方向相反，?a??a。 ?a?(?x,?y)。 与数乘运算有同样的坐标表示。 ?(?a)?(??)a，(???)a??a??a， ?(a?b)??a??b ab?a?bcos?a,b? 2ab?x1x2?y1y2。 a?x2?y2， aa?a，ab?a?b。 22x1x2?y1y2?x12?y12?x2?y2 算律 ab?ba，(a?b)c?ac?bc， (?a)b?a(?b)??(ab)。 与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法。 标准方程 圆的方程 x 2+ y 2= r 2 (x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2 圆心 （0，0） （a，b） 半径 r r 1D2?E2?4F 2一般方程 x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0 ?DE???,?? ?22?
4.算法、推理与证明 顺序结构 逻辑条件结构 结构 循环结构 算法 基本语句 依次执行 根据条件是否成立有不同的流向 按照一定条件反复执行某些步骤 输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。 归纳推理 推理 合情推理 类比推理 由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。 程序框图，是一种用程序? 框、流程线及文字说明来表示算法的图形。 由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推理。 演绎推理 根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理． 综合法 由已知导向结论的证明方法。 推理直接证明 与 数学分析法 由结论反推已知的证明方法。 证明 证明 间接证明 主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。 数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范数学 围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当n取第一个值n0（例如n0=1）时归纳结论正确；然后假设当n=k(k?N?,k?n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确． 法 5.不等式、线性规划 （1）a?b，b?c?a?c； （2）a?b，c?0?ac?bc；a?b，c?0?ac?bc； （3）a?b?a?c?b?c； 不等式的性质 （4）a?b，c?d?a?c?b?d； （5）a?b?0，c?d?0?ac?bd； （6）a?b?0，n?N，n?1?a?b；a?b 一元二次不等式 *nnnn两个实数的顺序关系： a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?11?的充要条件ab是ab?0。 解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根），再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集． 基本 不等式 a?b 2（a?0,b?0） ab?a?b?2ab（a,b?0）；ab?(a?b2)（a,b?R）；2a2?b22aba?b22≤ab≤≤（a,b?0）；a?b?2ab。 2a?b2二元一次不等式Ax?By?C?0的解集是平面直角坐标系中表示Ax?By?C?0某一侧所二元一次有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公不等式组 共部分。 6.计数原理与二项式定理 分类加法中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法．那么完成这件计数原理 事共有N?m1?m2??mn种不同的方法． 完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案基本原理 分步乘法种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有计数原理 N?m1?m2?????mn种不同的方法. 从n个不同元素中取出m(m?n)个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从n排列排列 组合二项式定理 组合 定义 个不同元素中取出m(m?n)个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从nm个不同元素中取出m(m?n)个元素的排列数，用符号An表示。 排列数 公式 mAn?n(n?1)(n?2)(n?m?1)?n!(n，m?Ν，m?n)，规定0!?1． (n?m)!从n个不同元素中，任意取出m(m?n)个元素并成一组叫做从n个不同元素中取定义 出m(m?n)个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m(m?n)个元素的组合数，用符号Cmn表示。 组合数 公式 性质 定理 C?mnn(n?1)mAn(n?m?1)m，Cn?m． m!Ammn?mmmm?1Cn?Cn(m,n?N,且m?n)；Cn?1?Cn?Cn(m,n?N,且m?n)． 0n1n?1(a?b)n?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nnr?Cnb（Cn叫做二项式系数） 二项式定理 rn?rr通项公式 Tr?1?Cnab（其中0?k?n，k?N，n?N?） 系数和 公式 012rnn?1；Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2Crr?Crr?1?Crr?2???Cnr?Cnr?1135Cn?Cn?Cn?024?Cn?Cn?Cn?1232n?1;Cn?2Cn?3Cn?；n?nCn?n2n?1. 7.函数﹑基本初等函数I的图像与性质 指数函数 0?a?1 (??,??)单调递减，x?0时y?1，x?0时0?y?1 a?1 (??,??)单调递增，x?0时0?y?1，x?0时y?1 y?a 基本初等函数Ⅰ x函数图象过定点(0,1) 对数函数 y?logax 0?a?1 在(0,??)单调递减，0?x?1时y?0，x?1时y?0 a?1 在(0,??)单调递增，0?x?1时y?0，x?1时y?0 在在(0,??)单调递增，图象过坐标原点 在在(0,??)单调递减 函数图象过定点(1,0) 幂函数 ??0 y?x ???0 函数图象过定点(1,1) 8. 函数与方程﹑函数模型及其应用 概念 方程f(x)?0的实数根。方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． 图象在[a,b]上连续不断，若f(a)f(b)?0，则y?f(x)在(a,b)内存在零点。 函数零点 存在定理 对于在区间?a,b?上连续不断且f?a??f?b??0的函数y?f?x?，通过不断把函数方法 f?x?的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 第一步 确定区间?a,b?，验证f(a)?f(b)?0，给定精确度?。 求区间?a,b?的中点c； 二 分 法 步骤 第二步 计算f?c?：（1）若f?c??0，则c就是函数的零点；（2）若f?a??f?c??0，第三步 则令b?c（此时零点x0??a,c?）；（3）若f?c??f?b??0，则令a?c（此时零点x0??c,b?）．（4）判断是否达到精确度?:即若a?b??，则得到零点近似值a（或b）；否则重复（2）～（4）． 概念 把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。 阅读审题 分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。 函数建模 数学建模 弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。 解题步骤 解答模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果。 解释模型 将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。
9. 导数及其应用
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