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3．证明题：当x?1时，证明不等式 e?xe
x证 设函数f(x)?lnx，因为f(x)在(0,??)上连续可导，所以f(x)在[1,x]上满足拉格朗日中值定理条件，有公式可得
f(x)?f(1)?f?(c)(x?1) 其中1?c?x，即
lnx?ln1?又由于c?1，有
1(x?1) c1?1 clnx故有 lnx?x?1 两边同时取以e为底的指数，有e?ex?1
ex即 x?
e所以当x?1时，有不等式
e?xe
x成立.
第5章学习辅导（2）
典型例题解析
一、填空题
⒈曲线在任意一点处的切线斜率为2x，且曲线过点(2,5)，则曲线方程为 。
解：?2xdx?x2?c，即曲线方程为y?x2?c。将点(2,5)代入得c?1，所求曲线方程为
y?x2?1
⒉已知函数f(x)的一个原函数是arctanx2，则f?(x)? 。
2x解：f(x)?(arctanx2)?? 41?x2x2(1?x4)?8x42?6x4 ?4242 f?(x)?(1?x4)??(1?x)(1?x)⒊已知F(x)是f(x)的一个原函数，那么?f(ax?b)dx? 。 解：用凑微分法
11f(ax?b)d(ax)?f(ax?b)d(ax?b) ???aa11 ??dF(ax?b)?F(ax?b)?c
aa
二、单项选择题
f(ax?b)dx? ⒈设?f(x)dx?xlnx?c，则f(x)?（ ）。 A. lnx?1； B. lnx；
C. x； D. xlnx
解：因
f(x)?(xlnx)??lnx?x?lnx?1 x故选项A正确．
⒉设F(x)是f(x)的一个原函数，则等式（ ）成立。
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A.
d(?f(x)dx)?F(x)； B.?F?(x)dx?f(x)?c； dxdC.?F?(x)dx?F(x)； D.(?f(x)dx)?f(x)dx
解：正确的等式关系是
d(?f(x)dx)?f(x) dx?F?(x)dx?F(x)?c
故选项D正确．
⒊设F(x)是f(x)的一个原函数，则?xf(1?x2)dx?（ ）。
A. F(1?x2)?c； B. ?F(1?x2)?c；
1C. ?F(1?x2)?c； D. F(x)?c2 解：由复合函数求导法则得
11[?F(1?x2)]???f(1?x2)(1?x2)? 221 ??f(1?x2)(1?x2)??xf(1?x2)
2故选项C正确．
三、计算题
⒈计算下列积分：
⑴?x21?x解：⑴利用第一换元法
dx ⑵?x1?x2dx 2x dx??121?x2d(x2)???121?x2d(1?x2)
?1?x2 ???d(1?x2)?1?x2?c ⑵利用第二换元法，设x?sint，dx?costdt
?
⒉计算下列积分：
1?x2cost?cost1?sin2t1dx?dt?dt?(?sin2t?sin2t?sin2t?1)dt x21?x2?arcsinx?c ??cott?t?c??x ⑴?arcsinxdx ⑵?解：⑴利用分部积分法
lnxdx 2x
x1?x2?arcsinxdx?xarcsinx??xd(arcsinx)?xarcsinx?? ?xarcsinx??121?x2d(1?x2)
dx
?xarcsinx?1?x2?c
⑵利用分部积分法
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lnx1lnx1?x2dx??lnxd(?x)??x??xd(lnx) ??lnx1lnx1x??x2dx??x?x?c
高等数学（1）第六章学习辅导
综合练习题
（一）单项选择题
（1）．下列式子中，正确的是（ ）。
A. ?22f(x)dx?0 B. 1? a bf ( x ) dx ? ? b af ( x ) dx C.
?0x2dx??10xdx D.
?103x2dx??103t2dt (2). 下列式子中，正确的是（ ）
A. ????0xcostdt?????cosx B. ? ?? ? /2costdt???C. ????x0costdt??????0 D. ?0?cosx ???x????0costdt???cosx (3) 下列广义积分收敛的是（ ）。
A ???0exdx .B. ???11xdx
C.
???0cosxdx D.
???11x2dx
(4)
若f(x)是[?a,a]上的连续偶函数，则 ?a?af(x)dx?()。
A.
?0?af(x)dx B． 0
C．2?0?af(x)dx D．?a0f(x)dx
(5)
若f(x)与g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x?a,x?b所围图形的面积( A.
?baf(x)?g(x)dx B.
?ba(f(x)?g(x))dx
C. ?b D.
?ba(g(x)?f(x))dx a(f(x)?g(x))dx
答案：（1） A；（2）D； （3）D； （4）C； （5）A。
解：（1）根据定积分定义及性质可知 A正确。 而
?abbf(x)dx???af(x)dx B不正确。
在（0，1）区间内 x2?x??1x2dx??100xdx? C 不正确。
根据定积分定义可知，定积分值与函数及定积分的上、下限有关，而与积分变量的选取无关。 故D不正确。
(2) 由变上限的定积分的概念知
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).
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?x?????costdt??cosx?0? 由定积分定义知 B不正确。 D正确。 (3) ?,?0????xcostdt???cosx ∴A、C不正确。 ?????0exdx?lim
b???xb0edx?(e?e)??? ∴A不正确。 lim?0b???b ????1b11dx?lim?dx?limlnx1xxb???b???b1?lim(lnb?ln1)???∴B。不正确。
b???
??1??0cosxdx?limb????cosxdx?lim(sinb?sin0)0b???b1b∴C。不正确。 不存在。
???b1dx?lim?12dx?lim(?1xxxb???b???121_)?lim(??1)?1bb???D
D正确
（4）由课本344页 （6—4—2）和345页（6—4—3）知C。正确。
（5）所围图形的面积始终是在上面的函数减去在下面的函数 ∴ A正确。
（二） 填空题
(1)
(2) 设F(x)??limx?0x0costdtx?_________
?12xetdt,则F?(x)?____________.
(3) 在区间?0,2??上，曲线y?sinx和x轴所围图形的面积为______________。
(4)
?204?x2dx?______________
?? (5) p?_________,无穷积分?答案：
解：（1）lima1dx发散 (a＞0 p＞0 ) xp?x0costdtxx21x?0?limtcosx?cos0?1 1x?0?F?(x)?(??etdt,)???ex(x2)???2xex1x222 （2） F(x)???edt,（2） （3） （4） （5）
所围图形的面积S=2??0sinxdx??2cosx?0??2?cos??cos0??4
由定积分的几何意义知: 定积分的值等于 y= 2 所围图形的面积∴
4?x?2014?x2dx??22??
4p≤1时 无穷积分发散。
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（三） 计算下列定积分
(1）(2）
?4012?xdx x(1?x)dx
?0（3）
1?lnx?1xdx
e2 2（4） x 1?x dx?10? （5）
答案： (1）
?20xsin2xdx
??402?xdx??(2?x)dx??(x?2)dx?(2x?022412x)2201?(x2?2x)242?4
(2）
1021x(1?x)dx?(x2?x2)32e310?7 62e1e1?lnx1dx??(1?lnx)d(1?lnx)?(1?lnx)（3） ?11x2?3 22 2 （4） x 1?x dx?10 解: 设x?sint (0?t?
)dx?costdt2???122121?cos4t1222原式??sintcostdt??sin2tdt??dt?(x0404028??20??201?sin4t4?20)??16(5)
?201xsin2xdx??xcos2x21?1??2cos2xdx??sin2x2044??20??4
（四）定积分应用
求由曲线yx?1,及直线y?x,y?2所围平面图形的面积
解：画草图 求交点 由 y=x, xy=1得x=1 .y=1 2 y=2 y=x 0 xy=1
x y 所求平面图形面积211A??(y?)dy?(y2?lny)1y221?3?ln22第七章综合练习题
（一）单项选择题
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2020电大《高等数学基础》复习题考试必考重点【完整版
