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⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。
f(x)在点x?x0处可导是指极限
?x?0limf(x0??x)?f(x0)
?xf(x)?f(x0)
x?x0存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限
x?x0lim 函数f(x)在点x?x0处的导数f?(x0)的几何意义是曲线y?f(x)上点(x0,f(x0))处切线的斜率。
曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)
函数y?f(x)在x0点可导，则在x0点连续。反之则不然，函数y?f(x)在x0点连续，在x0点不一定可导。 ⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法
（5）参数表示的函数的求导法
正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如
一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数y?(x?1)2x，求y?。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。如果我们把函数先进行变形，即 y?(x?1)2x1?x2?2x?1x13?x?2x?x
3212?12再用导数的加法法则计算其导数，于是有
?31? y??x2?x2?x2
22这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数 y?x?13x?2，求y?。
显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得
lny?两端求导得
11ln(x?1)?ln(x?2) 23y?11?? y2(x?1)3(x?2)整理后便可得
y??若函数由参数方程
3x?8 2x?26(x?x?2)?x?1?x??(t) ?y??(t)?的形式给出，则有导数公式
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dy??(t)?
?dx?(t)能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
⒋熟练掌握微分运算法则
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(u?v)?du?dv
d(u?v)?vdu?udv uvdu?udv d()?(v?0) 2vv一阶微分形式的不变性
???dy?y?xdx?yu?uxdx?yudu
微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。
⒍了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数。
函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。要求函数的n阶导数就要先求函数的n?1阶导数。
第三章 导数与微分典型例题选解
一、填空题
⒈设函数f(x)在x?0邻近有定义，且f(0)?0,f?(0)?1，则lim解：lim故应填1。
⒉曲线y?x?0f(x)? 。 xx?0f(x)f(x)?f(0)?lim?f?(0)?1 x?0xx?01x在点（1，1）处切线的斜率是 。
解：由导数的几何意义知，曲线f(x)在x?x0处切线的斜率是f?(x0)，即为函数在该点处的导数，于是
1?1?y???x2,y?(1)??x222故应填?33x?11??
21。 22⒊设f(x)?x?4x?5，则f[f?(x)]? 。 解：f?(x)?2x?4，故
f[f?(x)]?(2x?4)2?4(2x?4)?5?4x2?24x?37
2故应填4x?24x?37 二、单项选择题
⒈设函数f(x)?x，则lim2x?2f(x)?f(2)?（ ）。
x?2A.2x； B.2； C.4； D不存在
f(x)?f(2)?f?(2)，且f(x)?x2，
x?2x?2所以f?(2)?2xx?2?4，即C正确。
解：因为lim1 ⒉设f()?x，则f?(x)?（ ）。
x
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1111； B. ?； C. 2； D. ?2 xxxx解：先要求出f(x)，再求f?(x)。
11111因为f()?x?，由此得f(x)?，所以f?(x)?()???2
1xxxxxA.
即选项D正确。
3．设函数f(x)?(x?1)x(x?1)(x?2)，则f?(0)?（ ）． A.0； B.1；
C.2； D.?2
解：因为f?(x)?x(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)(x?2)?(x?1)x(x?2)?(x?1)x(x?1)，其中的三项当x?0时为0，所以
f?(0)?(0?1)(0?1)(0?2)?2
故选项C正确。
4．曲线y?x?e在点（ ）处的切线斜率等于0。
x解：y??1?e，令y??0得x?0。而y(0)??1，故选项C正确。
5． y?sinx，则y??（ ）。
2A.(0,1)； B.(1,0)； C.(0,?1)； D.(?1,0)
xA.cosx； B.?cosx； C.2xcosx； D.?2xcosx
222解：y??cosx?(x)??2xcosx
2222故选项C正确。 三、计算应用题 ⒈设y?tan2x?2sinx，求dyx??2
解：⑴由导数四则运算法则和复合函数求导法则
y??由此得
2?cosx?2sinxln2 2cos2x?2?sin2dyx???(?cos?2ln2)dx?2dx 22cos?2xf(x)⒉设y?f(e)e，其中f(x)为可微函数，求y?。
xf(x)?f(ex)[ef(x)]? 解 y??[f(e)]?e =f?(e)[e]?exx?f(ex)ef(x)[f(x)]?
xxf(x)?f(ex)ef(x)f?(x) =f?(e)eef(x)[f?(ex)ex?f(ex)f?(x)] =ef(x)求复合函数的导数时，要先搞清函数的复合构成，即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要分清复合函数的复合层次，然后由外层开始，逐层使用复合函数求导公式，一层一层求导，关键是不要遗漏，最后化简。
3.设函数y?y(x)由方程xy?e?lnyxdy确定，求。 ydxy?xy??y?ey?yy?xy??xy2
解：方法一：等式两端对x求导得
整理得
y?xy2y??2xy?xyey?x
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方法二：由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得
左端?d(xy?e)?d(xy)?d(e)?ydx?xdy?edy
yyy右端?d(ln由此得
xyxyydx?xdy)?d()?? 2yxyxyydx?xdy?eydy?yydx?xdy? xy2整理得
dyy?xy2 ?dxx2y?xyey?x 4.设函数y?y(x)由参数方程
?t2?x?2 ??y?1?t?确定，求
dy。 dx
解：由参数求导法
dyyt??11???? dxxt?2tt25．设y?(1?x)arctanx，求y??。
2解 y??2xarctanx?(1?x)1?2xarctanx?1 21?x2x y???(2xarctanx?1)??2arctanx?1?x22
第四章 导数的应用典型例题
一、填空题
1.函数y?ln(1?x)的单调增加区间是 .
2?2x，当x?0时y??0.故函数的单调增加区间是(??,0). 21?xlnx2.极限lim? .
x?11?x解：y??解：由洛必达法则
1lnx(lnx)?lim?lim?limx??1 x?11?xx?1(1?x)?x?1?11x?x3.函数f(x)?(e?e)的极小值点为 。
21x?x解：f?(x)?(e?e)，令f?(x)?0，解得驻点x?0，又x?0时，f?(x)?0；x?0时，f?(x)?0，所以x?021x?x是函数f(x)?(e?e)的极小值点。
2二、单选题
1.函数y?x?1 在区间[?2,2]上是（ ）
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A） 单调增加 B）单调减少 C）先单调增加再单调减少 D）先单调减少再单调增加 解：选择D
y??2x，当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0；所以在区间[?2,2]上函数y?x2?1先单调减少再单调增
加。
2. 若函数y?f(x)满足条件（ ），则在(a,b)内至少存在一点?(a???b)，使得
f?(?)?成立。
f(b)?f(a)
b?a A）在(a,b)内连续； B）在(a,b)内可导；
C）在(a,b)内连续，在(a,b)内可导； D）在[a,b]内连续，在(a,b)内可导。 解：选择D。
由拉格朗日定理条件，函数f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导，所以选择D正确。
3. 满足方程f?(x)?0的点是函数y?f(x)的（ ）。 A）极值点 B）拐点 C）驻点 D）间断点 解：选择C。
依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。
4.设函数f(x)在(a,b)内连续，x0?(a,b)，且f?(x0)?f??(x0)?0，则函数在x?x0处（ ）。 A）取得极大值 B）取得极小值
C）一定有拐点(x0,f(x0)) D）可能有极值，也可能有拐点 解：选择D
函数的一阶导数为零，说明x0可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零，说明x0可能是函数的拐点，所以选择D。 三、解答题 1.计算题
求函数y?x?ln(1?x)的单调区间。
解：函数y?x?ln(1?x)的定义区间为(?1,??)，由于
1x ?1?x1?x令y??0，解得x?0，这样可以将定义区间分成(?1,0)和(0,??)两个区间来讨论。当?1?x?0时，y??0；当0?x???是，y??0。
y??1?由此得出，函数y?x?ln(1?x)在(?1,0)内单调递减，在(0,??)内单调增加。 2.应用题
欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？
解：设底边边长为x，高为h，所用材料为y 且 xh?108,h? y?x?4xh
22108 x21084322?x? 22xx3?4322x?432? y??2x? 22xx3令y??0得2(x?216)?0?x?6，
且因为x?6,y??0;x?6,y??0，所以x?6,y?108为最小值.此时h?3。
?x?4x2于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。
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2020电大《高等数学基础》复习题考试必考重点【完整版
