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高等数学（1）学习辅导(一)
第一章 函数
⒈理解函数的概念；掌握函数y?f(x)中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。
两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。 ⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。
若对任意x，有f(?x)?f(x)，则f(x)称为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称。 若对任意x，有f(?x)??f(x)，则f(x)称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。 掌握奇偶函数的判别方法。
掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。
⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 基本初等函数是指以下几种类型： ①常数函数：y?c ②幂函数：y?x?x(?为实数)
③指数函数：y?a(a?0,a?1)
④对数函数：y?logax(a?0,a?1)
⑤三角函数：sinx,cosx,tanx,cotx ⑥反三角函数：arcsinx,arccosx,arctanx
⒋了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。 如函数
y?earctan(1?x)
u2可以分解y?e，u?v，v?arctanw，w?1?x。分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数
函数和幂函数的和。
⒌会列简单的应用问题的函数关系式。 例题选解 一、填空题
⒈设f()?x?1?x(x?0)，则f(x)? 。
221x解：设t?11，则x?，得 xt111?1?t2 f(t)??1?2?ttt1?1?x2故f(x)?。
x1?5?x的定义域是 。 ⒉函数f(x)?ln(x?2)解：对函数的第一项，要求x?2?0且ln(x?2)?0，即x?2且x?3；对函数的第二项，要求5?x?0，即x?5。
取公共部分，得函数定义域为(2,3)?(3,5]。
⒊函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(lnx)的定义域是 。
解：要使f(lnx)有意义，必须使0?lnx?1，由此得f(lnx)定义域为[1,e]。 ⒋函数y?解：要使y?x2?9的定义域为 。
x?3?x?3?x?3或x??3x2?92有意义，必须满足x?9?0且x?3?0，即?成立，解不等式方程组，得出?，
x?3x?3??x?3可编辑
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故得出函数的定义域为(??,?3]?(3,??)。
ax?a?x⒌设f(x)?，则函数的图形关于 对称。
2解：f(x)的定义域为(??,??) ，且有
a?x?a?(?x)a?x?axax?a?xf(?x)????f(x)
222即f(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。
二、单项选择题
⒈下列各对函数中，（ ）是相同的。 A.f(x)?x2,g(x)?x； B.f(x)?lnx2,g(x)?2lnx；
x2?13,g(x)?x?1C.f(x)?lnx,g(x)?3lnx； D.f(x)?x?1
解：A中两函数的对应关系不同,
x2?x?x， B, D三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以A B, D都不
是正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确。 ⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)－f(?x)的图形关于（ ）对称。
A.y＝x； B.x轴； C.y轴； D.坐标原点 解：设F(x)?f(x)?f(?x)，则对任意x有
F(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)??(f(x)?f(?x))??F(x)
即F(x)是奇函数，故图形关于原点对称。选项D正确。
3．设函数f(x)的定义域是全体实数，则函数f(x)?f(?x)是（ ）． A.单调减函数； B.有界函数；
C.偶函数； D.周期函数 解：A, B, D三个选项都不一定满足。 设F(x)?f(x)?f(?x)，则对任意x有
F(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)?f(x)?f(?x)?F(x)
即F(x)是偶函数，故选项C正确。
ax?1(a?0,a?1)（ ） ⒋函数f(x)?xxa?1 A.是奇函数； B. 是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。
a?x?1a?x(1?ax)ax?1 f(?x)?(?x)?x??x?x?xx?f(x)
a?1a(1?ax)a?1所以B正确。
1，则f(x)?（ ） 2x22 A.x； B. x?2；
22C.(x?1)； D. x?1。
111222解：因为x?2?x?2?2?2?(x?)?2
xxx112所以f(x?)?(x?)?2
xx2则f(x)?x?2，故选项B正确。
⒌若函数f(x?)?x?21x第二章 极限与连续
⒈知道数列极限的“??N”定义；了解函数极限的描述性定义。
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⒉理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。 无穷小量的运算性质主要有：
①有限个无穷小量的代数和是无穷小量； ②有限个无穷小量的乘积是无穷小量； ③无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。
⒊熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。
求极限有几种典型的类型 （1）limx?0a2?xk?a(a2?xk?a)(a2?xk?a)1 ?lim?k2kx?02axkx(a?x?a)(x?x0)(x?x1)x2?ax?b（2）lim?lim?x0?x1
x?x0x?x0x?x0x?x0?0?a0xn?a1xn?1???an?1x?an?a0（3）lim??x?x0bxm?bxm?1???bx?b01m?1m?b0??? ⒋熟练掌握两个重要极限： limn?mn?m n?msinx?1
x?0x11x lim(1?)?e （或lim(1?x)x?e）
x?0x??x 重要极限的一般形式：
sin?(x)?1
?(x)?0?(x)lim11f(x))?e （或lim(1?g(x))g(x)?e） lim(1?g(x)?0f(x)??f(x)利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如
sinxsinxlimsinx11x?0x1lim?lim?x??? x?0sin3xx?03sin3xsin3x33limx?03x3xxx2x222?2?(1?)lim[(1?)]?1?x?x?2xe2x??xxlim()?lim??lim???1?e3 ?x??x?1x??x??11?x?1e?1?1?(1?)xlim[(1?)]x????x?x?x?⒌理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。
间断点的分类：
已知点x?x0是的间断点，
若f(x)在点x?x0的左、右极限都存在，则x?x0称为f(x)的第一类间断点； 若f(x)在点x?x0的左、右极限有一个不存在，则x?x0称为f(x)的第二类间断点。
⒍理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。
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典型例题解析
一、填空题 ⒈极限limx?0x2sinsinx1x2sinx?lim(xsin1x)?limxsin1?limx?0?1?0 解：limx?0x?0x?0sinxxsinxxx?0sinx1注意：limxsin?0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）
x?0xx111sinxlim?lim???1，其中lim=1是第一个重要极限。 x?0sinxx?0sinxx?0sinx1xlimx?0xx1??xsinx?0⒉函数f(x)??的间断点是x? 。 x??x?1x?0解：由f(x)是分段函数，x?0是f(x)的分段点，考虑函数在x?0处的连续性。
1因为 lim?xsin?0lim?(x?1)?1f(0)?1
x?0x?0x所以函数f(x)在x?0处是间断的，
又f(x)在(??,0)和(0,??)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x?0。
2⒊⒋⒌⒍设f(x)?x?3x?2，则f[f?(x)]? 。 解：f?(x)?2x?3，故
f[f?(x)]?(2x?3)2?3(2x?3)?2?4x2?18x?20
2⒎函数y?ln(1?x)的单调增加区间是 。
1x? 。
二、单项选择题 ⒈函数f(x)?xsin1在点x?0处（ ）． x A.有定义且有极限； B.无定义但有极限；
C.有定义但无极限； D.无定义且无极限 解：f(x)在点x?0处没有定义，但
limxsinx?01?0（无穷小量?有界变量=无穷小量） x故选项B正确。
⒉下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A.e,sinx,(x??)； xx?1?1,(x?0)C. ln(1?x),(x?1)； D.
x
(x??)； B.
解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以
1xlim而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。
sinx?0
x??x可编辑
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三、计算应用题
⒈计算下列极限：
x2?3x?2x?3?x ⑴lim2 ⑵ lim()
x?2x?4x?12x??x?11?x?1(x?1)10(2x?3)5lim (3)lim （4） 15x?0x??sin3x12(x?2)
x2?3x?2(x?1)(x?2)x?1??解：⑴?
x2?4x?12(x?2)(x?6)x?6x2?3x?2x?11 ?lim2=lim?
x?2x?4x?12x?2x?6811(1?)xlim[(1?)?x]?1x?3?xx?1xe?11n??xx)?lim()?lim???⑵lim( x34n??x?1n??x?3n??3xee3(1?)lim[(1?)3]3xn??x⑶ 题目所给极限式分子的最高次项为
x10?(2x)5?32x15
分母的最高次项为12x，由此得
15(x?1)10(2x?3)5328lim?? 15x??12312(x?2) （4）当x?0时，分子、分母的极限均为0，所以不能用极限的除法法则。求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。
1?x?1(1?x?1)(1?x?1)1?x?1 ?lim?limx?0x?0x?0sin3xsin3x(1?x?1)sin3x(1?x?1)?x13x1111??lim?lim??? =limx?03x?0sin3xx?01?x?1326sin3x(1?x?1) lim2.设函数
1?xsin?bx?0?x? f(x)??ax?0
?sinxx?0?x?问（1）a,b为何值时，f(x)在x?0处有极限存在？ （2）a,b为何值时，f(x)在x?0处连续？
解：（1）要f(x)在x?0处有极限存在，即要lim?f(x)?lim?f(x)成立。
x?0x?0因为lim?f(x)?lim?(xsinx?0x?01?b)?b xsinx?1x?0x?0x所以，当b?1时，有lim?f(x)?lim?f(x)成立，即b?1时，函数在x?0处有极限存在，又因为函数在某点处有极
lim?f(x)?lim?x?0x?0限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。
（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0)
x?x0x?x0 于是有b?1?f(0)?a，即a?b?1时函数在x?0处连续。
第三章 导数与微分
导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点：
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2020电大《高等数学基础》复习题考试必考重点【完整版
