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离散数学综合练习及答案

由天下分享时间：2025/2/25 19:17:08 加入收藏我要投稿点赞

北京科技大学远程教育学院

《离散数学》综合练习

数理逻辑

一、判断下列句子是否是命题，若是命题判断真值，并将其符号化。 1、今天天气真好！解：不是命题。

2、王华和张民是同学。

解：是命题。真值视实际情况而定。p：王华和张民是同学。 3、我一边吃饭，一边看电视。

解：是命题。真值视实际情况而定。p：我吃饭。q：我看电视。pq 4、没有不呼吸的人。

解：是命题。真值为1。Mx：x是人。Fx：x呼吸。xMxFx

二、求命题公式的真值表和成真赋值、成假赋值。 [(p?q)?r]?(p?r)

一参考答案

q (p?q)?r p?r [(p?q)?r]?(p?r) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 成真赋值：000，001，010，011，101，111；成假赋值100，110 三、用真值表、等值演算两种方法判别公式类型。

p 1、[(p?q)?q]?r 解： p q r 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 解： p q r p1 1 1 1 0 0 1 1 q (p?q)?q [(p?q)?q]?r 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

[(p?q)?q]?r??[(?p?q)?q]?r??(?p?q)??q?r

?(p??q)??q?r?[(p??q)?(?q??q)]?r?[(p??q)??q]?r可满足式

2、q??((?p?q)?p) 解：A?q??((?p?q)?p)

p q ?p?q (?p?q)?p ?((?p?q)?p) A 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 q??((?p?q)?p)?q??(?p?q)??p??(?p?q)?(?p?q)?1

永真式

四、求命题公式的主析取范式和成真赋值、成假赋值。 p?(q?r) 解： p q r p?(q?r) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 p?(q?r)??(0，1，2，3，4，5，7）成真赋值：000，001，010，011，100，101，111；成假赋值110 五、解释I如下：D是实数集，特定元素a=0；特定函数fx，y=x

特定谓词Fx，y：x

?x?y[?F(f(x，y)，x)]??x?y[?F(x?y，x)]??x?y[?((x?y)?x)]??x?y[(x?y)?x)]

真值为假

2、?x?y?z{F(x，y)?F[f(x，z)，f(y，z)] 解：

y；

?x?y?z{F(x，y)?F[f(x，z)，f(y，z)]}??x?y?z[(x?y)?(x?z)?(y?z)]

真值为真六、

1、求前束范式??xF(x)??yG(x，y) 解：

??xF(x)??yG(x，y)??xF(x)??yG(x，y)??xF(x)??yG(t，y)

??x?y[F(x)?G(t，y)] 2、证明：?x(A(x)?B)??xA(x)?B 证明：

?x(A(x)?B)??x(?A(x)?B)??x?A(x)?B???xA(x)?B

??xA(x)?B七、写出下面推理的证明，要求写出前提、结论，并注明推理规则。

（1）如果乙不参加篮球赛，那么甲就不参加篮球赛。若乙参加篮球赛，那么甲和丙就参加篮球赛。因此，如果甲参加篮球赛，则丙就参加篮球赛。解：

p：甲参加篮球赛。q：乙参加篮球赛。r：丙参加篮球赛。前提： q p ，q pr ，结论：p r

证明：① q p 前提引入

② pq ①置换

③ q pr 前提引入 ④ q pr ③置换 ⑤ q p q r ④置换 ⑥ q r ⑤化简 ⑦ q r ⑥置换

⑧ p r ②⑦假言三段论推理正确

（2）学会的成员都是专家。有些成员是青年人。所以，有些成员是青年专家。个体域是人的集合

Fx：x 是学会成员。Gx：x 是专家。Hx：x 是青年人。前提：x Fx Gx，x Fx Hx 结论：x Fx Hx Gx 证明：① x Fx Hx 前提引入

② Fc Hc ①EI ③ x Fx Gx 前提引入 ④ Fc Gc ③UI ⑤ Fc ②化简

⑥ Gc ⑤④假言推理

⑦ Fc H⑧ x Fx推理正确

G Hx

②⑥ 合取 Gx ⑦EG

《离散数学》综合练习二参考答案

集合、关系、函数

一、判断题

1、对任意集合A，都有AA和A A，不能同时成立。（ F ）

2、R1、R2是A上的具有自反性的二元关系，R1－R2也具有自反性。（ F ） 3、A上恒等关系IA具有自反性、对称性、反对称性、传递性。（ T ） 4、f：AB，g：BC，若fog是AC的满射，则f、g都是满射。（ F ） 5、A =｛1，2，3，4｝，f是从A到A的满射，则也是从A到A的单射。（ T ）

二、填空题

1、A－B∪AB = A 。

2、A有2个元素，B有3个元素，从A到B的二元关系有 2 个。 3、R是A上的二元关系，RoR一定具有的性质是对称性。

4、fx= lnx 是从 R 到 R 的函数。

－1

5、f、g都是从A到A的双射，(fog) = gof 。

－1－1－1

三、集合

1、A={{a，{b}}，c，{c}，{a，b}}、B={{a，b}，c，{b}} 求A∪B、A∩B、A－B、AB 解：

A?B?{{a,{b}},c,{c},{a,b},{a,b},c,{b}}A?B?{c,{a,b}}A?B?{{a,{b}},{c}}

A?B?(A?B)?(B?A)?{{a,{b}},{c}}?{b}?{{a,{b}},{c},{b}} 2、A={{a，{b}}，c，?} 求A的幂集。解：PA={?，｛?｝，{{a，{b}}}，｛c｝，｛{a，{b}}，c｝，｛{a，{b}}，?｝，｛c，?｝}，A} 3、证明：A－(B∪C) = (A－B)∩(A－C)

解：A?(B?C)?A(B?C)?ABC?ABAC?(A?B)?(A?C)

四、二元关系（共30分）

1、A＝{a，b，c，b}，R＝{，，，}

用关系矩阵求R，写出R的集合表示。

2、指出二元关系满足哪种性质，不满足哪种性质，说明理由。

解：满足反对称性；不满足自反性，反自反性，对称性，传递性 3、A =｛1，2，3，4，5，6｝，S =｛｛1，2｝，｛3｝，｛4，5，6｝｝画出由S产生的等价关系的关系图。解：

4、画出偏序集的哈斯图，并指出最大元、最小元、极大元、极小元。

｛1，2，3，…，12｝整除关系解：

最大元：无；最小元、极小元：1；极大元：7，8，9，10，11，12

五、函数

1、确定以下各题中f是否是从AB的函数，若是指出是否是单射、满射、双射，如果不是说明理由。（1）A=｛1，2，3，4，5｝、B=｛5，6，7，8，9｝

f=｛1，8，3，9，4，10，2，6，5，9｝解：f 是函数，由3，9，5，9 f 不是单射，也不是满射。