《任意角的三角函数》教学设计
高一数学
一、教材分析
这是一堂关于任意角的三角函数的概念课．
在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值．在此基础上，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么关系了．任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要角的终边上点的坐标直观帮助，这中间体现了数形结合的思想．三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用．而任意角三角函数的概念又是整个三角函数内容的基础，所以它不仅是三角函数内容的核心概念，同时在高中数学中还占有重要的地位．本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的定义是这节课的重点，能够利用坐标认识该定义是解决教学重点的关键．
1.本节的重点是三角函数的定义，明确对应法则和定义域.难点是通过坐标求任意角的三角函数值.
2.教材分三步引入三角函数的定义：
（1）复习直角三角行中的边角关系，锐角三角比.
（2）在象限角的终边上任取一点，启发学生研讨这一点的坐标与象限角的大小关系.然后证明三个比值与点在终边上的位置无关.
（3）根据判断函数的标准，定义正弦函数，余弦函数，正切函数，并了解正割，余割，余切函数.
三角函数的定义是本章最基本的概念，是其他所有知识的出发点，务必要求学生学好。 三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学的角的概念的推广的基础上讨论和研究的，定义对象从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，定义媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系。使学生在知识结构上发生了很大变化。教学中应从学生已有的知识谈起，引导学生将三角函数的概念由锐角三角函数推广到任意角的三角函数。首先把角的终边画在第一象限，在角终边上任取一点，明确点P的坐标OP的距离，然后按照锐角三角函数的定义写出三角函数的比值式.在这一基础上推广到任意角，从而完成六个三角函数的定义.这样讲可以很自然地把新旧知识连成线，同时可以体会由特殊到一般的思维方法和类比方法.
3.在讲三角函数的定义时，首先应使学生理解每一个三角函数都是以角为自变量的函数，即三角函数都是以角为自变量以比值为函数值得函数.在讲解定义域时，应抓住分母不为零这一关键，为此需要注意，当角的终边在坐标轴上时，点P的横纵坐标中必有一个为零，由此可启发学生自己得出有关的结论.
4.教科书把六个三角函数分成两段分别给出定义，使用“有时我们还用到下面三个函数”的词语，其意是重点突出正弦、余弦、和正切。在练习中让学生掌握正割与余弦、余割与正弦、余切与正切的关系即可.
5.特殊角的三角函数值是常用数值，学生在初中已经记住30°，45°，60°的正弦、余
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弦、正切、余切等值.在练习中要求学生把0°，90°，180°，270°，360°，的各角三角函数值填入表中并记忆.例1是角终边上一点坐标求六个三角函数值；例2是求某些特殊角的三角函数值，这两个题都是为了巩固任意角三角函数的概念. 二、教学目标分析
（一）知识与技能
1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的正割、余割、余切的定义
2．已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3．掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域 （二）过程与方法
锐角三角函数就是以锐角为自变量，以坐标的比值为函数值的函数．引导学生把这个定义推广到任意角，通过把长度的比值转化为坐标的比值，探讨任意角的三角函数的定义，最终得到任意角三角函数的定义．最终让学生理解，三角函数是以实数为自变量，以坐标的比值为函数值的函数。然后根据定义，探讨各三角函数的定义域。
（三）情感、态度与价值观 通过三角函数定义的学习，体会同一角的三角函数值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示我们在研究问题时，要在千变万化中抓住事物的本质，不被表面现象所迷惑，从中体会三角函数，像一般函数一样，体现了一般函数的抽象美
三、教学重点、难点分析
（一）教学重点
三角函数是函数的一个特例，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。
因此本课时的教学重点是：通过概念的同化与精致过程，帮助学生理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。 （二）教学难点
本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段研究过锐角三角函数，研究范围是锐角；研究方法是几何的，没有坐标系的参与；研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其学生的主体作用。具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助坐标进行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫。
认识一个函数，关键是认识函数的三要素。在任意角的三角函数学习过程中也可能在自变量和对应法则上出现问题，应该注意明确任意角的三角函数的三要素，比如正弦函数
y=sinα中自变量是角?，并且?∈R，对应法则是一个角与其正弦值对应，至于这个值怎
么计算，在此处是规定为角?终边与单位圆交点的纵坐标，通过例2可以看出，也可以利用比值定义。对于一次函数、二次函数也需要将自变量的值进行计算得到函数值，这一点本质上是统一的，要引导学生类比理解。
综合上述分析，本课时的教学难点是：
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用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数 四、教学方法
1.通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解、掌握定义得基础上，加深特殊与一般关系的理解
2.通过定义的剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻的认识，达到突破难点的目的。
y五、教学过程
r 1．复习锐角三角函数的定义
问题：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1，在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠?的正弦、余弦和正切分别是什么？
设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义． 师生活动：教师提出问题，引导学生回答． 2．认识任意角三角函数的定义
问题：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？
设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数． 问题：首先，在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 进一步引导学生在平面直角坐标系内用坐标定义锐角的三角函数．
问题：如图，角?是第一象限角，如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
设计意图：引导学生分析三组比值而改变
问题：如图，角?是第二象限角，如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
设计意图：引导学生分析无论角?是第几象限角，三组比值不随P点位置的改变而改变
问题：三组比值变化有关？
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yryxy,,不随P点位置的改变rrxyxy,,rrxyxy,,比值不随P点位置的改变而改变，与谁的rrx设计意图：进一步引导学生分析无论角?是第几象限角，三组比值
yxy,,仅与角?的rrx大小有关，即三组比值随着角?的变化而变化，?的一个取值对应一组比值，从而引出任意角的三角函数定义
（x，y）是角?终边上一点，Pr?OP?x2?y2yy比值叫做角?的正弦，记作sin?，即sin?=
rr比值
xx叫做角?的余弦，记作cos?，即cos?= rryy叫做角?的正切，记作tan?，即tan?= xx比值
之后再给出余切、正割及余割的概念。
最后总结：正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．
问题：根据任意角三角函数的定义，要求角α的三个三角函数值其实就是分别是求什么？
设计意图：让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角函数概念的本质．
师生活动：在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值． 3．进一步理解任意角三角函数的概念
思考问题1.出正弦、余弦、正切函数的定义域？
设计意图：研究一个函数，就要研究其三要素，而三要素中最本质的则是对应法则和定义域．三角函数的对应法则已经由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域．通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．
师生活动：学生求出定义域，教师进行整理．
思考问题2.圆O是原点为圆心,以r为半径的圆。若角? 终边与圆O的交点为P，则P点坐标？
y?sin?? ??r设计意图：引导学生根据三角函数定义 ，变形推导出P坐标 P(rcos?,rsin?)?x?cos??
?r?深化认识定义
4.应用概念，巩固概念
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例1.已知角?的终边过点P（2，－3），求?的六个三角函数值。
设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．
师生活动：在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识：
变式1.已知角?的终边过点P（2a，－3a）(a<0)，求sin?、cos?、tan? 变式2.角?的终边在直线y?2x上，求sin?、cos?、tan? 例2. 求下列各角的正弦、余弦、正切值 （1）0； （2）? （3）
3? 2设计意图：通过应用三角函数的定义，加强对三角函数概念的理解，熟悉特殊角的三角函数值． 5.巩固练习 1.填空：
（1）角?的终边经过点Q(
)，则
sin?=__________, cos?=__________, tan?=________， cot?=__________, sec?=__________, csc?=_________. （2）角?的终边经过点P(?3,?1)，则
sin?=__________, cos?=__________, tan?=________， 2.填表： 角α sinα cosα tanα 0 ? 6 ? 4 ? 3 ? 2 ? 3? 23.已知 sin?=?31， cos?=?，写出?的终边与以原点为圆心、以2为半径的圆的
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高中数学_1.2.1 三角函数的定义教学设计学情分析教材分析课后反思
