.*
3．设a>0，f(x)＝n∈N*.
ax
，令a1＝1，an＋1＝f(an)， a＋x
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． 解：(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a
猜想an＝(n∈N*)．
?n－1?＋a
(2)证明：①易知n＝1时，猜想正确． a
②假设n＝k时猜想正确，即ak＝，
?k－1?＋aaa·?k－1?＋aa·ak
则ak＋1＝f(ak)＝＝ aa＋ak
a＋
?k－1?＋a＝
aa
＝.
?k－1?＋a＋1[?k＋1?－1]＋a
aaa；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝. 1＋a2＋a3＋a
这说明，n＝k＋1时猜想正确．
a
由①②知，对于任意的n∈N*，都有an＝成立.
?n－1?＋a 14.数学归纳法在证明不等式中的易误点
【典例】 设函数f(x)＝x－sin x，数列{an}满足an＋1＝f(an)． (1)若a1＝2，试比较a2与a3的大小；
(2)若0 [解] (1)当a1＝2时，a2＝f(2)＝2－sin 2∈(0,2)，所以sin a2>0，又a3＝f(a2)＝a2－sin a2， 所以a3－a2＝－sin a2<0，所以a2>a3. (2)证明：用数学归纳法证明当0 ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，0 所以ak＋1 综上可得，当0 .* [易误点评] (1)不会作差比较a2与a3大小，同时忽视了sin 2的值大小． (2)证明n＝k＋1成立时用不归纳做证n＝k成立条件导致失误． [防范措施] (1)用数学归纳证明不等式的关键是由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立．(2)在归纳假设使用后，注意最后结论证明方法的选择． [跟踪练习] 若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤xn 证明：(1)当n＝1时，x1＝2，f(x1)＝－3，Q1(2，－3)．∴直线PQ1的方程为y＝4x－11， 11 令y＝0，得x2＝，因此，2≤x1 4(2)假设当n＝k时，结论成立，即2≤xk ∴直线PQk＋1的方程为y－5＝(x－4)． xk＋1－4 3＋4xk＋15 又f(xk＋1)＝x2＝4－，由归k＋1－2xk＋1－3，代入上式，令y＝0，得xk＋2＝2＋xk＋12＋xk＋1 纳假设，2 ＋1 ?3－xk＋1??1＋xk＋1?55 <4－＝3；xk＋2－xk＋1＝>0，即xk 2＋xk＋12＋32＋xk＋1 所以2≤xk＋1 A组 考点能力演练 1111 1．用数学归纳法证明：1＋2＋2＋…＋2<2－(n∈N＋，n≥2)． 23nn1513 证明：(1)当n＝2时，1＋2＝<2－＝，命题成立． 2422(2)假设n＝k时命题成立，即 1111 1＋2＋2＋…＋2<2－. 23kk 1111111111当n＝k＋1时，1＋2＋2＋…＋2＋<2－＋<2－＋＝2－＋－ 23k?k＋1?2k?k＋1?2kk?k＋1?kk 11 ＝2－命题成立． k＋1k＋1 由(1)，(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2时均成立． ??S2n，n＝1，1 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an＝f(n)＝? n?S－S，n≥2，－?2nn1 (1)计算f(1)，f(2)，f(3)的值； (2)比较f(n)与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． .* 13 证明：(1)由已知f(1)＝S2＝1＋＝， 2211113 f(2)＝S4－S1＝＋＋＝， 23412111119 f(3)＝S6－S2＝＋＋＋＝； 345620(2)由(1)知f(1)>1，f(2)>1； 下面用数学归纳法证明：当n≥3时，f(n)<1. ①由(1)知当n＝3时，f(n)<1； 111 ②假设n＝k(k≥3)时，f(k)<1，即f(k)＝＋＋…＋<1，那么 kk＋12k11111 f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋ 2k2k＋12k＋2k＋1k＋21111 ＝?k＋k＋1＋k＋2＋…＋2k?＋ ?? 1111111 ＋－<1＋?2k＋1－2k?＋?2k＋2－2k?＝1＋ ????2k＋12k＋2k 2k－?2k＋1?2k－?2k＋2?11 ＋＝1－－<1，所以当n＝k＋1时，f(n)<1也成立． 2k?2k＋1?2k?2k＋2?2k?2k＋1?k?2k＋2? 由①和②知，当n≥3时，f(n)<1. 所以当n＝1和n＝2时，f(n)>1；当n≥3时，f(n)<1. 3．(2015·安庆模拟)已知数列{an}满足a1＝a>2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)． (1)求证：对任意n∈N*，an>2； (2)判断数列{an}的单调性，并说明你的理由； 4(3)设Sn为数列{an}的前n项和，求证：当a＝3时，Sn<2n＋. 3解：(1)证明：用数学归纳法证明an>2(n∈N*)； ①当n＝1时，a1＝a>2，结论成立； ②假设n＝k(k≥1)时结论成立，即ak>2，则n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋2>2＋2＝2，所以n＝k＋1时，结论成立． 故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n∈N*，都有an>2成立． (2){an}是单调递减的数列． 22 因为a2n＋1－an＝an＋2－an＝－(an－2)(an＋1)，又an>2， 2所以a2n＋1－an<0，所以an＋1 an＋1－21?2111根据(1)知an>2(n∈N*)，所以＝<，所以an＋1－2<(an－2) 2)<… .* 1?n ?1?n＋2. 所以，当a＝3时，an＋1－2 当n＝1时，S1＝3<2＋. 3当n≥2时， 1???1?2???1?n－1＋2? ＋2＋Sn＝3＋a2＋a3＋…＋an<3＋?＋2＋…＋?4???4????4??1 4??1?n－1? ＝3＋2(n－1)＋1－ 1??4??1－ 41?1?n－1?<2n＋4. ＝2n＋1＋?1－ 3??4??34 综上，当a＝3时，Sn<2n＋(n∈N*)． 3
数学归纳法经典编辑练习进步及其解答过程
