课时跟踪检测(二十二)
A组——12+4提速练
一、选择题
??x-4x+6,x≥0,
1.设函数f(x)=?
?x+6,x<0,?
2
则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞)
2
B.(-3,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)
解析:选A 由题意得,f(1)=3,所以f(x)>f(1),即f(x)>3.当x<0时,x+6>3,解得-3
2.在R上定义运算:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x-b)>0的解集是(2,3),则a+b=( )
A.1 C.4
B.2 D.8
解析:选C 由题知(x-a)?(x-b)=(x-a)[1-(x-b)]>0,即(x-a)[x-(b+1)]<0,由于该不等式的解集为(2,3),所以方程(x-a)[x-(b+1)]=0的两根之和等于5,即a+b+1=5,故a+b=4.
11
3.已知正数a,b的等比中项是2,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( )
abA.3 C.5
B.4 D.6
11
解析:选C 由正数a,b的等比中项是2,可得ab=4,又m=b+,n=a+,所以mab11a+b55
+n=a+b++=a+b+=(a+b)≥×2ab=5,当且仅当a=b=2时等号成立,故
abab44
m+n的最小值为5.
x-y≥-1,??
4.(2017·合肥质检)设变量x,y满足约束条件?x+y≤4,
??y≥2,
的最大值为( )
A.5 C.13
2
B.6 D.7
则目标函数z=x+2y解析:选C 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图易知,当直线z=x+2y经过直线x-y=-1与x+y3513?35?=4的交点,即?,?时,z取得最大值,zmax=+2×=,故
222?22?选C.
3x+2y-6≤0,??
5.(2017·全国卷Ⅲ)设x,y满足约束条件?x≥0,
??y≥0,是( )
A.[-3,0] C.[0,2]
B.[-3,2] D.[0,3]
则z=x-y的取值范围
解析:选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线l0:y=x,平移直线l0,当直线z=x-y过点A(2,0)时,z取得最大值2,
当直线z=x-y过点B(0,3)时,z取得最小值-3, 所以z=x-y的取值范围是[-3,2].
2x+3y-3≤0,??
6.(2017·全国卷Ⅱ)设x,y满足约束条件?2x-3y+3≥0,
??y+3≥0,是( )
A.-15 C.1
B.-9 D.9
则z=2x+y的最小值
解析:选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.
易求得可行域的顶点A(0,1),B(-6,-3),C(6,-3),当直线z=2x+y过点B(-6,-3)时,z取得最小值,zmin=2×(-6)-3=-15.
7.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=4,则ab+bc+ac的最大值为( ) A.8 C.2
2
2
2
2
2
2
B.4 D.1
2
2
2
2
2
2
2
解析:选B ∵a+b+c=4,∴2ab+2bc+2ac≤(a+b)+(b+c)+(a+c)=2(a+
b2+c2)=8,∴ab+bc+ac≤4(当且仅当a=b=c=
为4.
23
时等号成立),∴ab+bc+ac的最大值3
x+3y+5≥0,??
8.(2017·惠州调研)已知实数x,y满足:?x+y-1≤0,
??x+a≥0,
若z=x+2y的最小值为
-4,则实数a=( )
A.1 C.4
B.2 D.8
解析:选B 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,当直线z=x+2y经过点C?-a,最小值-4,所以-a+2·
??
a-5?
3?
?时,z取得
a-5
3
=-4,解得a=2,故选B.
x+2y≤2,??
9.当x,y满足不等式组?y-4≤x,
??x-7y≤2
时,-2≤kx-y≤2恒成立,则实数k的取值范围是( )
A.[-1,1]
B.[-2,0]
?13?C.?-,?
?55?
影部分所示,设z=kx-y,
??x+2y=2,由???y-4=x,??x=-2,得???y=2,
?1?D.?-,0?
?5?
解析:选D 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴
??x+2y=2,
即B(-2,2),由?
??x-7y=2,
??y-4=x,
即C(2,0),由?
?x-7y=2,?
??x=-5,
得?
?y=-1,?
??x=2,得???y=0,
即A(-5,-1),要使不等式-2≤kx-y≤2
恒成立,
?
则?-2≤2k≤2,??-2≤-5k+1≤2,
?-2≤-2k-2≤2,
-2≤k≤0,
??-1≤k≤1,即?
13-≤k≤??55,
1
所以-≤k≤0,故选D.
5
10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )
A(吨) B(吨) A.12万元
甲 3 1 乙 2 2 原料限额 12 8 B.16万元 C.17万元 D.18万元
解析:选D 设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元, 则有z=3x+4y,
??x+2y≤8,
由题意得x,y满足?x≥0,
??y≥0,
3x+2y≤12,
作出可行域如图中阴影部分所示,根据线性规划的有关知识,知当直线z=3x+4y过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得的最大利润为18万元.
14y2
11.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+ A.(-1,4) C.(-4,1) 14 解析:选B 由题可知,1=+≥2 B.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞) 4 xyxy= 4 ,即xy≥4,于是有m-3m>x+≥xy4xy2 y≥4,故m-3m>4,化简得(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4,即实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(4,+∞). 2 x-x+3,x≤1,?? 12.(2017·天津高考)已知函数f(x)=?2 x+,x>1.??x2 设a∈R,若关于x的不 ??等式f(x)≥?+a?在R上恒成立,则a的取值范围是( ) ?2? ?47?A.?-,2? ?16? C.[-23,2] x?4739?B.?-,? ?1616? 39??D.?-23,? 16?? 解析:选A 法一:根据题意,作出f(x)的大致图象,如图所示. ??当x≤1时,若要f(x)≥?+a?恒成立,结合图象,只需 ?2? xx?x?x2-x+3≥-?+a?,即x2-+3+a≥0,故对于方程x2-+ x?2? 22 1?247?-3+a=0,Δ=??-4(3+a)≤0,解得a≥-; 16?2? 2xx2x?x?当x>1时,若要f(x)≥?+a?恒成立,结合图象,只需x+≥+a,即+≥a,又+x22x2?2? x2 ≥2,当且仅当=,即x=2时等号成立,所以a≤2. x2x2 ?47?综上,a的取值范围是?-,2?. ?16? ??法二:关于x的不等式f(x)≥?+a?在R上恒成立等价于-f(x)≤a+≤f(x), 2?2? 即-f(x)-≤a≤f(x)-在R上恒成立, 22令g(x)=-f(x)-. 2 若x≤1,则g(x)=-(x-x+3)-=-x+-3 22 2 xxxxxx2 x?1?247 =-?x-?-, ?4?16 147当x=时,g(x)max=-; 416 ?2?x?3x2?若x>1,则g(x)=-?x+?-=-?+?≤-23, ?x?2?2x? 3x223 当且仅当=,且x>1,即x=时,等号成立, 2x3故g(x)max=-23. 47 综上,g(x)max=-. 16令h(x)=f(x)-, 2 xx232 若x≤1,则h(x)=x-x+3-=x-x+3 22 ?3?239 =?x-?+, ?4?16 339当x=时,h(x)min=; 416 2xx2 若x>1,则h(x)=x+-=+≥2, x22xx2 当且仅当=,且x>1,即x=2时,等号成立, 2x故h(x)min=2. 综上,h(x)min=2.