备战2024年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2024)
专题29初等数论
历年联赛真题汇编
1.【2024高中数学联赛B卷(第02试)】设a,b为不超过12的正整数,满足:存在常数C,使得????+????+9≡??(mod13)对任意正整数n成立.求所有满足条件的有序数对(??,??). 【答案】(1,1),(4,4),(10,10),(12,12)
【解析】解法1:由条件知,对任意正整数n,有????+????+9≡????+3+????+12(mod13). ①
注意到13为素数,a,b均与13互素,由费马小定理知??2≡??2≡1(??????13). 因此在①中取n=12,化简得1+??9≡??3+1(mod13),故??9≡??3(mod13). 代入①,得????+??3????≡????+3+????+12≡????+3+????(mod13), 即(?????????)(1???3)≡0(mod13). ②
分两种情况讨论.
(ⅰ)若??3≡1(mod13),则??3≡??3??3≡??12≡1(mod13), 又??,??∈{1,2,?,12},经检验可知??,??∈{1,3,9}.
此时????+????+9≡????+????(mod13).由条件知??+??≡??3+??3≡2(mod13), 从而只能是a=b=1.
经检验,当(??,??)=(1,1)时,对任意正整数n, ????+????+9模13余2为常数,满足条件. (ⅱ)若??3≡1(mod13),则由②知,对任意正整数n,有????≡????(mod13). 特别地, ??≡??(mod13) ,故a=b.所以??3≡??9=??9(mod13), 即??3(??3?1)(??3+1)≡0(mod13),
故??3≡?1(mod13).通过检验??≡±1,±2,?,±6(??????13),可知??=4,10,12. 经检验,当(??,??)=(4,4),(10,10), (12,12)时,对任意正整数n, 有????+????+9=????+????+9=????(1+(??3)3)≡0(mod13), 满足条件.
综上,所求的有序数对(??,??)为(1,1),(4,4),(10,10),(12,12).
解法2:由条件知,对任意正整数n,有(????+????+9)(????+2+????+11)≡(????+1+????+10)2(mod13), 化简得????????+11+????+2????+9≡2????+1+????+10(mod13), 即????????+9(?????)2≡0(mod13).
由于13为素数, ??,??∈{1,2,?,12} ,故13|(?????)2,进而??=??.
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因此,当n变化时, ????+????+9=????(1+??9)模13的余数为常数. 当1+??9≡(mod13)时,由上式知, ????模13的余数为常数, 特别地,有??2≡??(mod13),故a=1.
当1+??9≡0(mod13)时,由费马小定理得??2≡1(mod13), 故??3≡??3?(???9)≡???12≡?1(mod13).
通过检验??≡±1,±2,?,±6(mod13),可知??=4,10,12. 综上,所求的有序数对(??,??)为(1,1),(4,4),(10,10),(12,12).
2.【2024高中数学联赛A卷(第02试)】设m为整数,|??|?2.整数数列??1,??2,?满足:??1,??2不全为零,且对任意正整数n,均有????+2=????+1???????.
证明:若存在整数r、s(r>s≥2)使得????=????=??1,则????????. 【答案】证明见解析
【解析】不妨设??1,??2互素(否则,若(??1,??2)=??>1,则1与2互素,并且用1,
??
??
??
??
??
??
??2??3??
,
??
,…代替??1,??2,??3,?条件与
结论均不改变).
由数列递推关系知??2≡??3≡??4≡?(?mod?|??|)
①
②
以下证明:对任意整数n≥3,有????≡??2?(??1+(???3)??2)??(?mod???2)
事实上,当n=3时②显然成立.假设n=k时②成立(其中k为某个大于2的整数),注意到①,有???????1≡????2(?mod???2),结合归纳假设知
????+1=????????????1≡??2?(??1+(???3)??2)???????2≡??2?(??1+(???2)??2)(?mod???2), 即n=k+1时②也成立.因此②对任意整数n≥3均成立. 注意,当??1=??2时,②对n=2也成立. 设整数r、s(r>s≥2),满足????=????=??1. 若??1=??2,由②对n≥2均成立,可知
??2?(??1+(???3)??2)??≡????=??3=??2?(??1+(???3)??2)??(?mod???2), 即??1+(???3)??2≡??1+(???3)??2(?mod?|??|),即(?????)??2≡0(?mod?|??|) 若??1≠??2,则????=????=??1≠??2,故r>s≥3. 此时由于②对n≥3均成立,故类似可知③仍成立. 我们证明a2,m互素
事实上,假如a2与m存在一个公共素因子p,则由①得p为??2,??3,??4,?的公因子,而??1,??2互素,故?????1,这与????=????=??1矛盾.
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③
因此,由③得?????≡0(?mod?|??|).又r>s,所以??????|??|.
3.【2024高中数学联赛B卷(第02试)】求满足以下条件的所有正整数n: (1)n至少有4个正因数;
(2)若??1?2???是n的所有正因数,??2???1,??3???2,?,??????????1构成等比数列. 【答案】答案见解析 【解析】由条件可知k≥4,且易知??1=1,????=??,?????1=代入上式得
??3???2??2?1
????2??3???2??2???1
=
??????????1?????1??????2????3
.
,?????2=
,
=
??
2???????2??3
?????,化简得(??3???2)2=(??2?1)2??3.
由此可知d3是完全平方数.由于d2=p是n的最小素因子,d3是平方数,故只能??3=??2.
从而序列??2???1,??3???2,?,??????????1 , ???1,??2???,??3???2,?,?????1??????2,即??1,??2,??3,?,????为1, ??, ??2,?, ?????1,而此时相应的n为?????1.
综上可知,满足条件的n为所有形如????的数,其中p是素数,整数a≥3.
4.【2024高中数学联赛B卷(第02试)】给定整数a≥2.证明:对任意正整数n,存在正整数k,使得连续n个数????+1,????+2,?,????+??均是合数. 【答案】证明见解析
【解析】设??1?2???是1,2,…,n中与a互素的全体整数,则对1≤i≤n,???{??1,??2,?,????},无论正整数k如何取值,????+??均与a不互素且大于a,故????+??为合数. 对任意j=1,2,…,r,因??+????>1,故??+????有素因子????.
我们有(????,??)=1(否则,因????是素数,故????|??,但????|??+????,从而????|????,故??,????不互素,与????的取法矛盾). 因此,由费马小定理知,???????1≡1(?mod?????). 现取??=(??1?1)(??2?1)?(?????1)+1.
对任意j=1,2,…,r,注意到??≡1(?mod??????1),故有????+????≡??+????≡0(?mod?????). 又????+????>??+?????????,故????+????为合数.
综上所述,当??=(??1?1)(??2?1)?(?????1)+1时,????+1,????+2,?,????+??均是合数.
5.【2017高中数学联赛A卷(第02试)】设m、n均是大于1的整数,m≥n.??1,??2,?,????是n个不超过m的互不相同的正整数,且??1,??2,?,????互质.证明:对任意实数x,均存在一个i(1≤i≤n),使得‖??????‖?‖表示实数y到与它最近的整数的距离. 【答案】证明见解析
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2??(??+1)
‖??‖,这里‖??
【解析】4首先证明以下两个结论
结论1存在整数??1,??2,?,????,满足??1??1+??2??2+?+????????=1, 并且|????|???,1??????.
由于(??1,??2,?,????)=1,由裴蜀定理,存在整数??1,??2,?,????, 满足??1??1+??2??2+?+????????=1
①
下面证明,通过调整,存在一组??1,??2,?,????满足①,且绝对值均不超过m. 记??1(??1,??2,?,????)=∑????>???????0,??2(??1,??2,?,????)=∑??
????
|????|?0.
如果S1>0,那么存在????>??>1,于是????????>1,又因为??1,??2,?,????均为正数,故由①可知存在????<0.
′
令????′=?????????,????′=????+????,????=????(1??????,??≠??,??), ′′′则??1??1+??2??2+?+????????=1
②
并且0?????????????′???,???????′??????.
′′′)因为????′???,且????′?,所以??1(??1,??2,?,?????1(??1,??2,?,????). ′′′)又????′>????及????′>0,故??2(??1,??2,?,???????2(??1,??2,?,????).
如果S2>0,那么存在??????,因此有一个????>0.
′令????′=?????????,????′=????+????,????=????(1??????,??≠??,??),
那么②成立,并且??????′???,???????′<0.
′′′)与上面类似地可知??1(??1,??2,?,???????1(??1,??2,?,????), ′′′)且??2(??1,??2,?,?????2(??1,??2,?,????).
因为S1与S2均是非负整数,故通过有限次上述的调整,可得到一组??1,??2,?,????,使得①成立,并且??1=??2=0.结论1获证.
结论2(1)对任意实数a、b,均有‖??+??‖?‖??‖+‖??‖. (2)任意整数u和实数y有‖????‖?|??|?‖??‖.
由于对任意整数u和实数x,有‖??+??‖=‖??‖,故不妨设a,b∈[?,],
2211
此时‖??‖=|??|,‖??‖=|??|.
若ab≤0,不妨设a≤0≤b,则??+??∈[?,],
2211
从而‖??+??‖=|??+??|?|??|+|??|=‖??‖+‖??‖.
若ab>0,即a、b同号.当|??|+|??|?时,有??+??∈[?,],
2
22
1
11
此时‖??+??‖=|??+??|=|??|+|??|=‖??‖+‖??‖.
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当|??|+|??|>时,注意总有‖??+??‖?,
2
2
11
故‖??+??‖?<|??|+|??|=‖??‖+‖??‖.
2
1
故(1)得证.由(1)及‖???‖=‖??‖即知(2)成立.
回到原问题,由结论1,存在整数??1,??2,?,????,使得??1??1+??2??2+?+????????=1, 并且|????|???,1??????. 于是∑????=1??????????=??.
????利用结论2得‖??‖=‖∑????=1??????????‖?∑??=1|????|?‖??????‖???∑??=1‖??????‖.
因此max1??????‖??????‖?
1212
1????
‖??‖ ③
‖??‖????
若???(??+1),由③可知max1??????‖??????‖?
?
2‖??‖
??(??+1)
.
若??>(??+1),则在??1,??2,?,????中存在两个相邻正整数. 不妨设??1,??2相邻,则‖??‖=‖??2?????1??‖?‖??2??‖+‖??1??‖. 故‖??2??‖与‖??1??‖中有一个?
‖??‖2
?
2‖??‖
??(??+1)
.
2??(??+1)
综上所述,总存在一个i(1≤i≤n),满足‖??????‖?
‖??‖.
(????)!??!
6.【2015高中数学联赛(第02试)】求具有下述性质的所有正整数k:对任意正整数n,2(???1)??+1|【答案】答案见解析
【解析】以v(n)表示n!中2的幂次,以S(n)表示n的二进制表示中1的个数. 有结论??(??)=?????(??).
原题等价于??(??)+??(???1)???(????)恒成立,等价于??(????)???(??)恒成立. 显然??(??)?1.
当S(k)=1,即k为2的方幂时,有??(????)???(??),符合题意. 下面用构造法证明:使S(k)≥2的k均不符合题意. 若S(k)≥2,则k的二进制表示中至少有两个1.
用如下方式构造序列ni,使得存在l∈N,使S(knl)
先取??1=1,??2=2??+1,使得2????中的最后一个1与k中倒数第二个1对齐(如k=1001时,a=3). 当nt取定时,考虑此时的knt:
不成立.
取????+1=????+2??,使得2????中的最后一个1与knt中倒数第二个1对齐(如k=1001时,{ni}为1,9,25,…).这
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