高2020级高二下期理科数学中期考试试题
命题人：张应红 审题人：冉小魏
一、单选题 1．已知复数
（ 是虚数单位），则 （ 是 的共轭复数）的虚部为( )
A． B． C． D． 2．汽车以 (单位： )作变速直线运动时，在第 至第 间的 内经过的位移是( )
A． B． C． D． 3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“ ”类比得到“ ”；
②“ ”类比得到“ ”； ③“ ”类比得到“ ”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0
4．从右图所示的长方形区域内任取一点 ，则点 取自图中阴影部分的概率为( )
A． B． C． D． 5．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。甲说：“是丙或丁打碎的。”乙说：“是丁打碎的。”丙说：“我没有打碎玻璃。”丁说：“不是我打碎的。”他们中只有一人说了谎，请问是( )打碎了玻璃。
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知 有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A． C．
B． D．
7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如右图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第 行的所有数字之和为 ，若去除所有为1的项，依次构成数列 ，则此数列的前55项和为( ) A．4072
B．2026
C．4096
D．2048
8．函数 的定义域是 ， ，对任意 ， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． - 或 C． D． 或
9．若关于 的方程 没有实数根，则实数 的取值范围是( ) A． ， B． ， C． ， D． ，
10．若函数 有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． 或 D． 或
11．若函数 的图象上存在两个点 关于原点对称，则称点对 为 的“伙伴点对”，点对 与 可看作同一个“伙伴点对”，若函数 恰好由两个“伙伴点对”，则实数 的值为( )
A． B．2 C．1 D．0
12．若实数a,b,x,y满足b?a2?4lna?2x?y?2?0，则?a?x???b?y?的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
13．若 ，且 ，则 __________．
14．已知 ，则 __________. 15．设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为__________J(x的单位：m；力的单位：N)．
16．若函数 与 的图象存在公共切线，则实数的最大值为__________
三、解答题
17．已知复数 .当实数 取什么值时，复数 是： （1）纯虚数；
（2）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
2
22
18．（Ⅰ）求证： （Ⅱ）已知 ，且 ，求证：
19．用一根长为 分米的铁丝制作一个长方体框架(由12条棱组成),使得长方体框架的底面长是宽的 倍．在制作时铁丝恰好全部用完且损耗忽略不计．现设该框架的底面宽是 分米,用 表示该长方体框架所占的空间体积(即长方体的体积)． （1）试求函数 的解析式及其定义域；
（2）当该框架的底面宽 取何值时,长方体框架所占的空间体积最大,并求出最大值．
20．已知函数 .
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
和
中至少有一个小于2.
（2）讨论函数 的单调性.
21．已知函数 . （1）当 时，求函数 的最小值；
（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
22．已知函数 ， . （Ⅰ）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围;
（Ⅱ）若函数 的图象与直线 交于 两点，线段 中点的横坐标为 ，证明： （ 为函数 的导函数）.
参考答案
DCBCD BAADB BC
12. 【解析】∵b?a2?4lna?2c?d?2?0， ∴b?a?4lna?0,2c?d?2?0。
将b?a2?4lna?0看成y?x?4lnx?0，即曲线y??x?4lnx。 将2c?d?2?0看成2x?y?2?0，即直线y?2x?2。
222?a?c???b?d?22表示曲线y??x?4lnx上的点与直线y?2x?2上的点间的距离的平
2方。作与直线y?2x?2平行的曲线的切线，
2由y??x?4lnx，得y???2x?44，令y???2x??2，得x2?x?2?0， xx解得x?1或x??2（舍去）。所以切点为?1,?1?。 故点?1,?1?到直线2x?y?2?0的距离为d?故曲线上的点到直线的最小距离为5。 ∴?a?c???b?d?的最小值为5。 选C。 16．【解析】
解：设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（ ， ）， 与曲线C：g（x）＝ 切于点（ ， ）， ∴2
222?1???1??25?5。
，
化简可得，2 ∵2
，∴
，a ，
设h（x） （x＞0），则h′（x） ， ∴h（x）在（0， ）上递增，在（ ，+∞）上递减，
∴h（x）max＝h（ ） ，∴实数a的的最大值为e，故答案为：e． 17．【解析】 ，
，则 . （1） 为纯虚数，则
2018-2019学年重庆市万州二中高二下学期期中考试 数学（理） Word版
