圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第8章一般均衡1．一个二人经济中有两种商品。个体1开始有2单位x商品和2单位y商品；个体2开始只有2单位x商品；两人的效用函数分别是：u1?x,y??x?lny，u2?x,y??lnx?lny试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。解：先将商品y的价格规范为1，设商品x的价格为p。二人的效用最大化问题分别为：maxx1?lny1
x1,y1
s..tpx1?y1?2p?2和maxx2?lny2
x2,y2
s..tpx2?y2?2p建立拉格朗日函数：L1?x1?lny1??1?px1?y1?2p?2?L2?x2?lny2??2?px2?y2?2p?一阶必要条件分别为：??L1?x1?1??1p?0??L2?x2?1x2??2p?0??以及??L2?y2?1y2??2?0??L1?y1?1y1??1?0??L???px?y?2p?2?0??L???px?y?2p?011222?11?2
再加上市场出清条件x1?x2?4，y1?y2?2，瓦尔拉斯均衡价格和配置为：?p,p???1,1?；?x,y???3,1?，?x,y???1,1?x
y
1
1
2
2
2．一个二人经济中有两种商品。个体1开始有30单位x商品，个体2开始有20单位y商品；两人的效用函数分别是：1/11圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台u1?x,y??min?x,y?，u2?x,y??min?x,y12?试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。解：个体1和2的效用函数表明x和y是互补品。将1和2的无差异曲线绘制成Edgeworth方框如图8-1所示。图8-1瓦尔拉斯均衡要求预算线与无差异曲线在同一点上（相切），由图8-1可知，在任何一种非0的价格水平下，满足双方效用最大化的分配都不会导致市场出清（典型情况是x商品的社会超额需求小于零，y商品的社会超额需求小于零），因此也不可能达到瓦尔拉斯均衡。在这个纯交换经济当中，瓦尔拉斯均衡点只能是Edgeworth方框的两个对角点O1或O2，?
对应的均衡价格分别为p2?0或p1??0，即全部的产品无偿归某一个消费者所有。3．在一个两种商品、两个消费者的经济中，假设社会的初始禀赋是?x,y?。消费者i的马歇尔需求是??xi?p?,yi?p???,i?1,2。如果两个消费者都是非局部餍足的。（1）证明：对任何价格p??px,py??0，2/11圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台????px??xi?p??x??py??yi?p??y??0?i??i?（2）如果在价格p??0下x商品市场出清，证明y商品市场也必然同时出清。证明：（1）设两消费者的初始禀赋分别为?ix,?iy，i?1,2，则他们的预算约束为：pxxi?pyyi?px?ix?py?iyi?1,2两式相加并整理得：px?x1?x2??1x??2x??py?y1?y2??1y??2y??0由于?1x??2x?x，?1y??2y?y，代入可得：px??xi?p??x??py??yi?p??y??0。?i
???????i
（2）由（1）的结果，当价格p??0下x商品市场出清，则有x1?x2?x，代入得：??p?y??yi?p??y??0?i?由于p??0，所以y1?y2?y，因此y市场也必然同时出清。4．考虑8.1.2节中定义的映射（8.7）：g：Z?SH?1：gh?z??qh?max?0,khzh?1??max??0.kjzj??j?1H（1）验证：?z?Z，都有?gh?z??1；h?1
H
（2）验证gh?z?是z的连续函数。证明：（1）根据题意，?gh?q???h?1
h?1
HH
qh?max?0,khzh?1??max??0,kjzj??j?1H??q??max?0,kz?h?1
h
HH
1??max??0,kjzj??j?1
Hh?1
hh
由于?qh?1，所以：h?1
H
3/11圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台?g?q??h?1
h
H
1??max?0,khzh?1??max??0,kjzj??j?1h?1HH
?1（2）因为limgh?z????lim??0
??0
qh?max?0,khzh???1??max??0,kjzj????j?1H?qh?max?0,khzh?1??max??0,kjzj??j?1H?gh?z?，所以gh?z?是z的连续函数。5．假设经济中每个个体的间接效用函数都有拟线性形式：vi?p,m??fi?p??mi
p?是一个瓦尔拉斯均衡。证明：在p?附近总需求函数Xh?p?是ph的单减函数。证明：由Roy等式，个体i对商品h的需求为：?vi?p,mi??ph?vi?p,mi??mi
?fi?p??ph
xih?p?????根据间接效用函数的拟凸性质，有：?Xh?p??ph
???ph
?2fi?p?2?ph
?x?p????i
ih
i
?0因此，在p?附近总需求函数Xh?p?是ph的单减函数。6．在什么情况下契约线将完全落在Edgeworth方框的一条边上？此时是否每个帕累托配置都对应一个瓦尔拉斯均衡（适当调整初始禀赋）？你的回答是否与福利经济学第二基本定理矛盾？解：当对于所有禀赋约束下可能的配置结果x，消费者1的无差异曲线斜率都大于消费者2的无差异曲线斜率时，会出现角点解，即契约线将完全落在Edgeworth方框的一条边4/11圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台上。此时通过适当调整初始禀赋，每个帕累托配置也都对应着一个瓦尔拉斯均衡。这一点与福利经济学第二基本定理相符。7．证明：对于一个包含m个消费者、n个厂商、H种商品的经济，通过适当调整个体i?i?2,Km?的初始效用水平ui0，任何一个帕累托有效配置?xp,yp?都可以通过求解问题（8.24）得到。证明：任取一个帕累托有效配置?xp,yp?，指定ui0?ui?xip??i?2,Km?；记（8.24）的解?x?,y??，下面需要证明x??xp，y??yp。为证明x??xp，只需证明x1??xp。因为如果不是这样，那么在x1p基础上更改其消费可改善个体1的福利，同时未损害其他个体的利益，这与帕累托有效矛盾。对任何厂商j，任两种商品h和h?，yp都必须满足（8.24）的一阶必要条件，?ui?xih?Fj?yjh
??ui?xih??Fj?yjh?
这样，在x??xp的前提下，就意味着y??yp。8．假设经济中各个体的效用函数是ui?xi??i?1,?n?，定义社会福利函数W?x,k???kiui?xi?i?1n
其中x??x1,?xn?，k??k1,?kn??0是每个分量都大于零的常向量。给定经济中的初始禀赋不变，证明：（1）?k?0使得社会福利W?x,k?达到最大，则它必然是一个帕累托有效配置；（2）如果x??0是一个帕累托有效配置，且每一个ui是连续、单增的凹函数，则必然5/11
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