第二章
习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若limxn=a,则对任何自然数k,有limxn+k=a.
n??n??证:由limxn?a,知???0,?N1,当n?N1时,有
n??取N?N1?k,有???0,?N,设n?N时(此时n?k?N1)有 由数列极限的定义得 limxn?k?a.
x??2. 试利用不等式A?B?A?B说明:若limxn=a,则lim∣xn∣=|a|.考察数列
n??n??xn=(-1)n,说明上述结论反之不成立.
证:
而 xn?a?xn?a 于是???0,?N,使当n?N时,有
xn?a?xn?a?? 即 xn?a??
由数列极限的定义得 limxn?a
n??n考察数列 xn?(?1),知limxn不存在,而xn?1,limxn?1,
n??n??所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明:
11?2n?1?L?(1) lim?2?=0; (2) lim=0. 22?n??n??(2n)?n!?n(n?1)证:(1)因为
1111n?1n?n2???L???2? 22222nn(n?1)(2n)nnn而且 lim12?0lim?0, ,
n??n2n??n所以由夹逼定理,得
?111?lim?2??L??0. 22?n??n(n?1)(2n)??2n2222244?gggLgg?,而且lim?0, (2)因为0?n??nn!123n?1nn所以,由夹逼定理得
4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) xn=
1en?1,n=1,2,…; (2) x1=2,xn+1=2xn,n=1,2,…. 证:(1)略。
(2)因为x1?2?2,不妨设xk?2,则
故有对于任意正整数n,有xn?2,即数列?xn?有上界, 又 xn?1?xn?xn(2?xn),而xn?0,xn?2,
所以 xn?1?xn?0 即 xn?1?xn, 即数列是单调递增数列。
综上所述,数列?xn?是单调递增有上界的数列,故其极限存在。
习题2-2
1※
. 证明:limx?xf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
0证:先证充分性:即证若xlim?x?f(x)?xlim?xf(x)?a,则limf(x)?a. 0?0x?x0由xlim?x?f(x)?a及limf(x)?a知: 0x?x?0 ???0,??1?0,当0?x0?x??1时,有f(x)?a??,
??2?0当0?x?x0??2时,有f(x)?a??。
取??min??1,?2?,则当0?x0?x??或0?x?x0??时,有f(x)?a??, 而0?x0?x??或0?x?x0??就是0?x?x0??, 于是???0,???0,当0?x?x0??时,有f(x)?a??, 所以 limx?xf(x)?a.
0 再证必要性:即若limx?xf(x)?a,则limf(x)?limxf(x)?a, 0x?x?0x??0由limx?xf(x)?a知,???0,???0,当0?x?x0??时,有f(x)?a??,
0由0?x?x0??就是 0?x0?x??或0?x?x0??,于是???0,???0,0?x0?x??或0?x?x0??时,有f(x)?a??.
当
所以 limf(x)?limf(x)?a ??x?x0x?x0 综上所述,limf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
x?x0e; 2. (1) 利用极限的几何意义确定lim (x2+a),和lim?x?0x?01??x(2) 设f(x)= ?e, x?0,,问常数a为何值时,limf(x)存在.
x?02?x?a,x?0,?1x解:(1)因为x无限接近于0时,x?a的值无限接近于a,故lim(x?a)?a.
x?01x22当x从小于0的方向无限接近于0时,e的值无限接近于0,故lime?0. ?x?01x (2)若limf(x)存在,则limf(x)?limf(x), ??x?0x?0x?02f(x)?lim(x?a)?lim(x?a)?a, 由(1)知 lim???x?0x?0x?02所以,当a?0时,limf(x)存在。
x?03. 利用极限的几何意义说明limsinx不存在.
x???解:因为当x???时,sinx的值在-1与1之间来回振摆动,即sinx不无限接近某一定直线y?A,亦即y?f(x)不以直线y?A为渐近线,所以limsinx不存在。
x???习题2-3
1. 举例说明:在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量.
解:例1:当x?0时,tanx,sinx都是无穷小量,但由
sinx?cosx(当x?0时,tanxcosx?1)不是无穷大量,也不是无穷小量。
例2:当x??时,2x与x都是无穷大量,但小量。
例3:当x?0时,tanx是无穷小量,而cotx是无穷大量,但tanxgcotx?1不是无穷大量,也不是无穷小量。 2. 判断下列命题是否正确:
(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量; (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量; (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量; (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量; (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量;
(6) y=xsinx在(-∞,+∞)内无界,但limxsinx≠∞;
x???2x?2不是无穷大量,也不是无穷x(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量; (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解:(1)错误,如第1题例1; (2)正确,见教材§2.3定理3; (3)错误,例当x?0时,sinx是有界函数,cotxgsinx?cosxcotx为无穷大量,不是无穷大量;
(4)正确,见教材§2.3定理2;
(5)错误,例如当x?0时,与?是无穷大量;
(6)正确,因为?M?0,?正整数k,使2kπ+1x111都是无穷大量,但它们之和?(?)?0不xxxπ?M,从而2ππππf(2kπ+)?(2kπ+)sin(2kπ+)?2kπ+?M,即y?xsinx在(??,??)内无界,
2222又?M?0,无论X多么大,总存在正整数k,使kπ>X,使f(2kπ)?kπsin(kπ)?0?M,即x???时,xsinx不无限增大,即limxsinx??;
x???(7)正确,见教材§2.3定理5;
(8)错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量,但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f(x)=
3,x→2; (2) f(x)=lnx,x→0+,x→1,x→+∞; 2x?41x(3) f(x)= e,x→0+,x→0-; (4) f(x)=
?-arctanx,x→+∞; 21?1,x→∞. x2(5) f(x)=
11sinx,x→∞; (6) f(x)= 2xx22解:(1)因为lim(x?4)?0,即x?2时,x?4是无穷小量,所以
x?21是无穷2x?4小量,因而
3也是无穷大量。 x2?4x?0x?1x??? (2)从f(x)?lnx的图像可以看出,limlnx???,limlnx?0,limlnx???,?所以,当x?0时,x???时,f(x)?lnx是无穷大量;
当x?1时,f(x)?lnx是无穷小量。
?e???,lime?0, (3)从f(x)?e的图可以看出,lim??x?0x?01x1x1x所以,当x?0时,f(x)?e是无穷大量;
?1x 当x?0时,f(x)?e是无穷小量。 (4)Qlim(?arctanx)?0,
x????1xπ2?当x???时,f(x)? (5)Q当x??时,
π?arctanx是无穷小量。 2
1是无穷小量,sinx是有界函数, x?
1sinx是无穷小量。 x111?是无穷小量,是有界变量, 22xx(6)Q当x??时,
?
111?是无穷小量。 x2x2习题2-4
1.若limf(x)存在,limg(x)不存在,问lim[f(x)±g(x)], lim[f(x)·g(x)]是否存在,
x?x0x?x0x?x0x?x0为什么?
解:若limf(x)存在,limg(x)不存在,则
x?x0x?x0(1)lim[f(x)±g(x)]不存在。因为若lim[f(x)±g(x)]存在,则由
x?x0x?x0g(x)?f(x)?[f(x)?g(x)]或g(x)?[f(x)?g(x)]?f(x)以及极限的运算法则可得
x?x0limg(x),与题设矛盾。
(2)lim[f(x)·g(x)]可能存在,也可能不存在,如:f(x)?sinx,g(x)?x?x01,则x11g(x)]=limsinx?0存在。 limsinx?0,lim不存在,但lim[f(x)·
x?0xx?0xx?x0x?0又如:f(x)?sinx,g(x)?11,则limsinx?1,lim不存在,而
ππcosxcosxx?x?22x?x0g(x)]?limtanx不存在。 lim[f(x)·
x?π22. 若limf(x)和limg(x)均存在,且f(x)≥g(x),证明limf(x)≥limg(x).
x?x0x?x0x?x0x?x0证:设limf(x)=A,limg(x)=B,则???0,分别存在?1?0,?2?0,使得当
x?x0x?x00?x?x0??1时,有A???f(x),当0?x?x0??2时,有g(x)?B??
令??min??1,?2?,则当0?x?x0??时,有
微积分曹定华版课后题答案习题详解
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