第二章
习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若limxn=a,则对任何自然数k，有limxn+k=a.
n??n??证：由limxn?a，知???0，?N1，当n?N1时，有
n??取N?N1?k，有???0，?N，设n?N时（此时n?k?N1）有 由数列极限的定义得 limxn?k?a.
x??2. 试利用不等式A?B?A?B说明：若limxn=a,则lim∣xn∣=|a|.考察数列
n??n??xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.
证：
而 xn?a?xn?a 于是???0，?N,使当n?N时，有
xn?a?xn?a?? 即 xn?a??
由数列极限的定义得 limxn?a
n??n考察数列 xn?(?1)，知limxn不存在，而xn?1，limxn?1，
n??n??所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：
11?2n?1?L?(1) lim?2?=0； (2) lim=0. 22?n??n??(2n)?n!?n(n?1)证：（1）因为
1111n?1n?n2???L???2? 22222nn(n?1)(2n)nnn而且 lim12?0lim?0， ，
n??n2n??n所以由夹逼定理，得
?111?lim?2??L??0. 22?n??n(n?1)(2n)??2n2222244?gggLgg?，而且lim?0， （2）因为0?n??nn!123n?1nn所以，由夹逼定理得
4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) xn=
1en?1，n=1,2,…； (2) x1=2,xn+1＝2xn,n=1,2,…. 证：（1）略。
（2）因为x1?2?2，不妨设xk?2，则
故有对于任意正整数n，有xn?2，即数列?xn?有上界， 又 xn?1?xn?xn(2?xn)，而xn?0,xn?2，
所以 xn?1?xn?0 即 xn?1?xn， 即数列是单调递增数列。
综上所述，数列?xn?是单调递增有上界的数列，故其极限存在。
习题2-2
1※
. 证明：limx?xf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
0证：先证充分性：即证若xlim?x?f(x)?xlim?xf(x)?a，则limf(x)?a. 0?0x?x0由xlim?x?f(x)?a及limf(x)?a知： 0x?x?0 ???0,??1?0,当0?x0?x??1时，有f(x)?a??，
??2?0当0?x?x0??2时，有f(x)?a??。
取??min??1,?2?，则当0?x0?x??或0?x?x0??时，有f(x)?a??， 而0?x0?x??或0?x?x0??就是0?x?x0??， 于是???0,???0，当0?x?x0??时，有f(x)?a??， 所以 limx?xf(x)?a.
0 再证必要性：即若limx?xf(x)?a，则limf(x)?limxf(x)?a, 0x?x?0x??0由limx?xf(x)?a知，???0,???0，当0?x?x0??时，有f(x)?a??，
0由0?x?x0??就是 0?x0?x??或0?x?x0??，于是???0,???0，0?x0?x??或0?x?x0??时，有f(x)?a??.
当
所以 limf(x)?limf(x)?a ??x?x0x?x0 综上所述，limf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
x?x0e； 2. (1) 利用极限的几何意义确定lim (x2+a),和lim?x?0x?01??x(2) 设f(x)= ?e, x?0,，问常数a为何值时，limf(x)存在.
x?02?x?a,x?0,?1x解：（1）因为x无限接近于0时，x?a的值无限接近于a，故lim(x?a)?a.
x?01x22当x从小于0的方向无限接近于0时，e的值无限接近于0，故lime?0. ?x?01x （2）若limf(x)存在，则limf(x)?limf(x)， ??x?0x?0x?02f(x)?lim(x?a)?lim(x?a)?a， 由（1）知 lim???x?0x?0x?02所以，当a?0时，limf(x)存在。
x?03. 利用极限的几何意义说明limsinx不存在.
x???解：因为当x???时，sinx的值在-1与1之间来回振摆动，即sinx不无限接近某一定直线y?A，亦即y?f(x)不以直线y?A为渐近线，所以limsinx不存在。
x???习题2-3
1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.
解：例1：当x?0时，tanx,sinx都是无穷小量，但由
sinx?cosx（当x?0时，tanxcosx?1）不是无穷大量，也不是无穷小量。
例2：当x??时，2x与x都是无穷大量，但小量。
例3：当x?0时，tanx是无穷小量，而cotx是无穷大量，但tanxgcotx?1不是无穷大量，也不是无穷小量。 2. 判断下列命题是否正确：
(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；
(6) y=xsinx在(-∞，+∞)内无界，但limxsinx≠∞；
x???2x?2不是无穷大量，也不是无穷x(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：（1）错误，如第1题例1； （2）正确，见教材§2.3定理3； （3）错误，例当x?0时，sinx是有界函数，cotxgsinx?cosxcotx为无穷大量，不是无穷大量；
（4）正确，见教材§2.3定理2；
（5）错误，例如当x?0时，与?是无穷大量；
（6）正确，因为?M?0，?正整数k，使2kπ+1x111都是无穷大量，但它们之和?(?)?0不xxxπ?M，从而2ππππf(2kπ+)?(2kπ+)sin(2kπ+)?2kπ+?M，即y?xsinx在(??,??)内无界，
2222又?M?0，无论X多么大，总存在正整数k，使kπ>X，使f(2kπ)?kπsin(kπ)?0?M，即x???时，xsinx不无限增大，即limxsinx??；
x???（7）正确，见教材§2.3定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f(x)=
3,x→2; (2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞； 2x?41x(3) f(x)= e,x→0+，x→0-； (4) f(x)=
?-arctanx,x→+∞; 21?1，x→∞. x2(5) f(x)=
11sinx,x→∞; (6) f(x)= 2xx22解：（1）因为lim(x?4)?0，即x?2时，x?4是无穷小量，所以
x?21是无穷2x?4小量，因而
3也是无穷大量。 x2?4x?0x?1x??? （2）从f(x)?lnx的图像可以看出，limlnx???,limlnx?0,limlnx???，?所以，当x?0时，x???时，f(x)?lnx是无穷大量；
当x?1时，f(x)?lnx是无穷小量。
?e???,lime?0， （3）从f(x)?e的图可以看出，lim??x?0x?01x1x1x所以，当x?0时，f(x)?e是无穷大量；
?1x 当x?0时，f(x)?e是无穷小量。 （4）Qlim(?arctanx)?0，
x????1xπ2?当x???时，f(x)? （5）Q当x??时，
π?arctanx是无穷小量。 2
1是无穷小量，sinx是有界函数， x?
1sinx是无穷小量。 x111?是无穷小量，是有界变量， 22xx（6）Q当x??时，
?
111?是无穷小量。 x2x2习题2-4
1.若limf(x)存在，limg(x)不存在，问lim［f(x)±g(x)］, lim［f(x)·g(x)］是否存在，
x?x0x?x0x?x0x?x0为什么?
解：若limf(x)存在，limg(x)不存在，则
x?x0x?x0（1）lim［f(x)±g(x)］不存在。因为若lim［f(x)±g(x)］存在，则由
x?x0x?x0g(x)?f(x)?[f(x)?g(x)]或g(x)?[f(x)?g(x)]?f(x)以及极限的运算法则可得
x?x0limg(x)，与题设矛盾。
（2）lim［f(x)·g(x)］可能存在，也可能不存在，如：f(x)?sinx，g(x)?x?x01，则x11g(x)］=limsinx?0存在。 limsinx?0，lim不存在，但lim［f(x)·
x?0xx?0xx?x0x?0又如：f(x)?sinx，g(x)?11，则limsinx?1，lim不存在，而
ππcosxcosxx?x?22x?x0g(x)］?limtanx不存在。 lim［f(x)·
x?π22. 若limf(x)和limg(x)均存在，且f(x)≥g(x)，证明limf(x)≥limg(x).
x?x0x?x0x?x0x?x0证：设limf(x)=A，limg(x)=B，则???0，分别存在?1?0，?2?0，使得当
x?x0x?x00?x?x0??1时，有A???f(x)，当0?x?x0??2时，有g(x)?B??
令??min??1,?2?，则当0?x?x0??时，有
微积分曹定华版课后题答案习题详解
