目录
向量的线性运算 ......................................................................................................................................... 2 模块一：向量基本概念 ....................................................................................................................... 2
考点1：向量概念辨析 ..........................................................................................................2
模块二：向量的加减运算 .................................................................................................................. 3
考点2：向量的加减法 ..........................................................................................................4
模块三：三角形的三心 ....................................................................................................................... 6
考点3：三角形的三心 ..........................................................................................................6
课后作业：.............................................................................................................................................. 7
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向量的线性运算
模块一：向量基本概念
一、向量的概念与表示
1．向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．向量的表示：
①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．
②字母表示法：AB，注意起点在前，终点在后；也可以用a，b来表示． ③线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|．
3．零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0；零向量的方向是任意的． 单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
4．相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．
5．向量共线或平行：方向相同或相反的向量叫做平行向量．向量a平行于向量b，记作a∥
b．
任一组平行的向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． 规定：零向量与任意向量平行．
考点1：向量概念辨析
例1.（1）（2024春?城关区校级月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若a，则a?b；③向量AB与BA相等，则所有正确命题的序号是( ) b都是单位向量，A．①
2
B．③ C．①③ D．①②
（2）（2024春?北碚区期末）下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若a，b满足|a|?|b|且a与b同向，则a?b； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若a//b，b//c，则a//c． A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
模块二：向量的加减运算
二、向量的运算 1．向量的加法：
⑴ 三角形法则：AB?a，BC?b，a和b的和（或和向量）a?b?AB?BC?AC．
Cba+baAabB
⑵ 平行四边形法则：
AB?a，AD?b，a，b不共线，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则a?b?AC．
DbAa+baaBabCb
⑶ 多边形法则：
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．
3
ddcaba+b+c+dcba
⑷ 向量的运算性质：
向量加法的交换律：a?b?b?a；向量加法的结合律：(a?b)?c?a?(b?c)． 关于0：a?0?0?a?a． 2．向量的减法：
⑴ 相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作?a．?0?0． ⑵ 差向量：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．AB?OB?OA．
BbOaAa-b
3．数乘向量?a：??0时，与a方向相同；??0时，与a方向相反；??0时，?a?0；且
?a??a；
4．向量共线的条件
⑴ 平行向量基本定理：向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a． ⑵ 单位向量：a的单位向量记作a0，是指与a方向相同，长度为1的向量，a0?aa??．
考点2：向量的加减法
例2.（1）（2024?栖霞市模拟）在?ABC中，D为线段BC上一点，且BD?2CD，则AD?(
)
A．AD?C．AD?31AB?AC 4421AB?AC 33B．AD?13AB?AC 4412D．AD?AB?AC
33MD?xAB?yAC，（2）（2024?泰安模拟）在?ABC中，则x?y?( BC?CD，M为AC中点，
)
4
A．1
B．
1 21C．
3D．
3 2（3）（2017春?安吉县校级月考）如图所示，在?ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、
AC的中点，则下面结论正确的是( )A．AE?AD?FA
B．DE?AF?0
C．AB?BC?CA?0 D．DE?DF?AD
（4）（2017?临汾二模）设D、E、F分别为?ABC三边BC、CA、AB的中点，则DA?2EB?3FC?( ) 1A．AD
23B．AD
21C．AC
23D．AC
2
（5）（2016秋?宜昌期末）已知点P在正?ABC所确定的平面上，且满足PA?PB?PC?AB，则?ABP的面积与?BCP的面积之比为( ) A．1:1
B．1:2
C．1:3
D．1:4
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高中数学全套讲义 必修4 平面向量的线性运算 基础学生版
