高考数学一轮复习第二篇函数及其性质专题2.2函数的单调性与最值练习
（含解析）
【考试要求】
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值。 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 【知识梳理】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 条件 (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 【微点提醒】
1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； 自左向右看图象是下降的 M为最大值 M为最小值
2.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝
1
的单调性相反. f（x）
3.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，
axa].
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间
D上是增函数.( )
1
(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( )
x(3)对于函数y＝f(x)，若f(1) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× 【解析】 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). (3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以. (4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是R. 【教材衍化】 2.(必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) 1 A.y＝－x x B.y＝x－x D.y＝e x2 C.y＝ln x－x 【答案】 A 11 【解析】 对于A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞) xx内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝e在(0，＋∞)上是增函数. 3.(必修1P31例4改编)函数y＝【答案】 2 【解析】 函数y＝当x＝2时，y＝ 2 在[2，3]上是减函数， x－1 2 在区间[2，3]上的最大值是________. x－1 x22取得最大值＝2. x－12－1 【真题体验】 4.(2024·广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是( ) A.y＝ 1 在R上为减函数 f（x） B.y＝|f(x)|在R上为增函数 C.y＝－1 在R上为增函数 f(x) D.y＝－f(x)在R上为减函数 【答案】 D 【解析】 如f(x)＝x，则y＝ 3 1 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，A错；则yf(x) 1 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，f(x) ＝|f(x)|在R上无单调性，B错；则y＝－C错. 5.(2024·青岛调研)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是( ) A.f(m)>f(1) C.f(m)≥f(1) 【答案】 A 【解析】 因为f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则m－1>0，所以m>1，所以f(m)>f(1). 6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x－2x－8)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－2) C.(1，＋∞) 【答案】 D 【解析】 由x－2x－8>0，得x>4或x<－2. 设t＝x－2x－8，则y＝ln t为增函数. 要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x－2x－8的单调递增区间. ∵函数t＝x－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞). 【考点聚焦】 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1】 (1)(2024·石家庄质检)若函数y＝log1(x－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则a的取值范 2 2 2 2 2 2 2 B.f(m) B.(－∞，1) D.(4，＋∞) 围为( ) A.(－∞，－4)∪[2，＋∞) C.[－4，4) 【答案】 D 【解析】 令t＝x2－ax＋3a，则y＝log1t(t>0)， 2a??易知t＝x2－ax＋3a在?－∞，?上单调递减， 2?? B.(－4，4] D.[－4，4] ?a?在?，＋∞?上单调递增. ?2? ∵y＝log1 (x－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数， 2 2 ∴t＝x－ax＋3a在(2，＋∞)上是增函数，且在(2，＋∞)上t>0， ∴2≥，且4－2a＋3a≥0，∴a∈[－4，4]. 2 12 (2)判断并证明函数f(x)＝ax＋(其中1 2 ax【答案】见解析 【解析】f(x)在[1，2]上单调递增，证明如下： 1?11?22 设1≤x1 x2x1 ?x1x2? 由1≤x1 1<－. x1x241 又因为1 1 x1x2 >0， 从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增. 【规律方法】1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接. 2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【训练1】 (一题多解)试讨论函数f(x)＝ ax(a≠0)在(－1，1)上的单调性. x－1 【答案】见解析 【解析】法一 设－1 f(x)＝a? ?x－1＋1?＝a?1＋1?， ????x－1??x－1? ? 1?f(x1)－f(x2)＝a?1＋?－a?1＋? ?x1－1??x2－1? ＝ ? 1? a(x2－x1) ，由于－1 (x1－1)(x2－1) 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1) 法二 f′(x)＝ 2(x－1)＝ a(x－1)－axa＝－22. (x－1)(x－1) 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 考点二 求函数的最值 【例2】 (1)已知函数f(x)＝a＋logax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( ) 1A. 2 1B. 4 C.2 D.4 x2??x＋－3，x≥1， (2)已知函数f(x)＝?x则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________. 2??lg（x＋1），x<1，【答案】 (1)C (2)0 22－3 【解析】 (1)f(x)＝a＋logax在[1，2]上是单调函数， 所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6， 则a＋loga1＋a＋loga2＝loga2＋6， 即(a－2)(a＋3)＝0，又a>0，所以a＝2. (2)∵f(－3)＝lg[(－3)＋1]＝lg 10＝1， ∴f[f(－3)]＝f(1)＝0， 2 当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥22－3，当且仅当x＝2时，取等号，此时f(x)min＝22－3<0； 2 2 xx
高考数学一轮复习第二篇函数及其性质专题2.2函数的单调性与最值练习(含解析)
