第5章 单变量非线性时间序列模型
§1 随机波动率模型
一． 乘积过程 xt=m+sU tt其中Ut一个标准化过程，即E(Ut)=0,V(Ut)=1。st是一个正随机变量的序列。这种类型的过程称之为乘积过程。
因为V(xtst)=st2，因此st是随机过程xt的标准差。 现在看偏微分方程
dPP=d(log(P))=mdt+sdW
其中xt=Dlog(Pt)，W(t)为标准布朗运动。它是通常的金融资产定价的扩散过程。离散情况dt=1，所以它是一个乘积过程。 假设Ut=(xt-m)st服从正态分布，且独立于st，则
E(xt-m)=E(stUt222)=E(st)E(Ut22)=)=E(st2)
E(xt-m)(xt-k-m)=E(stst-kUtUt-2kE(stst-kUt)E(Ut-k)=0但平方误差St=(xt-m)却自相关：
cov(St,St-k)=E(St-E(St))(St-k-E(St))
=E(StSt-k)-=E(ss2t22t-k2t-k(E(St))2t2)E(UU2t-k)-(E(s))
2t2=E(sts)-(E(st2))此时
rk,S=E(sts2)-(E(st2)) 42E(st)-(E(st))2t-k 1
二． 随机波动率模型 如果定义
ht=logh（这个模型常常代表金融市场随机和不均匀(s2t)=g0+g1h-t+1t的薪信息流）其中ht:NID(0,s2h)且独立于Ut。 此时 xt=m+Utexp(ht2)
此时仅当ht弱平稳时，xt才是弱平稳。
此时xt的偶阶矩存在，所有的奇阶矩为零（为什么）：
E(xt-m)r=E(Sr2t)=E(Ur)骣tE琪骣?r?桫exp???桫2ht÷÷÷÷÷÷ 骣=(r!(2r2(r2))!)e琪?r骣r?÷骣?s2h÷?xpm桫2h+???桫2÷÷??÷÷桫2÷÷÷÷ 其中：mh=E(ht)=g0(1-g1)；s2h=s2h(1-g21)。 峰度的矩：
E(S2t)(=E(xt-m)42E(S2))2t(h)>3 （意思是什么）
(2Ex2t-m))=3exp(s此时
E(S2tSt-k)=E(s2tst-k)=E(exp(ht)exp(ht-k))=E(exp(ht+ht-k))=expm2
((h+sh)+(mh+gk21sh))
=exp(2m2h+sh(1+gk1))cov(S,S2t-k)=exp(2mh+sh(1+gkt1))-exp(2m2h+sh)
=exp(2m2h+sh)(exp(s2khg1)-1)
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此时rk,S=(exp(sg)-1)
3(exp(s)-1)2hk12h变化一下，利用模型
xt-m=stUtht=log(s2t)=htg0+g1ht-1+ht得出
log(St)=ht+log(Ut2)=mh+(1-g1B)+log(Ut2)
此时log(St):ARMA(1,1)。当Ut服从正态分布时，log(Ut2)的均值为-1.27， 方差为4.93 其自相关函数为
rk,log(S)=g1k2h(1+4.93/s)
三． 随机波动率模型的估计
采用Koopman得准极大似然法（QML）Quasi-maximum Likelihood。 STAMP5.0软件提供了这个方法。
§2 ARCH模型
波动性聚类：波动性不仅随时间变化，而且常在某一时段中连续出现偏高或偏低的现象。波动性聚类现象是金融时间序列常见的现象。 一． 自回归条件异方差模型（ARCH）的定义 随机变量xt服从自回归形式AR(p):
xt??0??1xt?1??2xt?2?...??pxt?p??t
其中?t服从独立同分布的白噪声过程，且有E??t??0,V??t???2。（？）
此时随机变量xt的无条件方差
E?xt???01??1?...??p
为常数，与时间无关。
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如果固定变量xt?1,xt?2,...xt?p的值，则随机变量xt的条件期望为
Extxt?1,...,xt?p??0??1xt?1?.....??pxt?p
??意义：说明xt的条件方差是时间的函数。 如随机过程??t?，它的平方服从AR(q)过程
222?t??0??1?t?1?...??q?t?q??t （1）
其中?t独立同分布，且有E??t??0,V??t???2。t?1,2,...，其平稳性条件为 则称随机过程??t?服从q阶的ARCH过程，记为ARCH?q?。此时随机过程??t?的无条件方差E??t2???2??01??1?...??q为常数。
ARCH模型的一个重要特点是给出了计算时间序列条件方差的方法。在每一时刻t，ARCH过程的条件方差是过去随机干扰的函数。以?t2表示ARCH过程?t在时刻t的条件方差，给定随机变量?t2?1,?t2?2,...,?t2?q的值，则
?t?E?t?t?1,...,?t?q??0??1?t?1?...??q?t?q
2?222?22所以只要知道参数?0,?1,...,?q的值，就可以在时刻t?1，预测时刻t时的条件方差?t2。
二． ARCH效应检验
对于序列是否存在ARCH效应，最常用的检验方法是拉格朗日乘数法LM检验。对于模型
ht??0??1?t?1??2?t?2?...??q?t?q
222 检验就是检验所有回归系数是否同时为0。 原假设
H0:a1=a2=...=aq=0H1:ai10
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检验的统计量LM=nR2:c2(q)。（如何判断是否显著，单边）。 四．模型的估计 采用最大似然估计ML
§3 衍生GARCH模型
一． Garch模型 模型形式为：ut??tht qpi2t?iht??0???ui?1???h
it?ii?1即当前的条件方差等于过去冲击的加权和加上自身的自回归。其中??2?1且
?0?0、?i?0以及?i?0，p,q分别为条件方差中自回归项与滑动平均项的阶。
由于??t?是白噪声过程且与ut?i的过去值独立，因此ut的条件和无条件均值均为零，并且E?ut2ut?1,ut?2,...??ht。这一特性与ARCH模型相同。Garch模型的条件方差不仅是滞后误差平方的线性函数，而且还是滞后条件方差的函数。 Garch模型能体现条件异方差的长期传导过程，即ht依赖于ht过去的所有值。如果收益率序列服从一个GARCH?p,q?过程，那么在一定条件下，可以用具有合理滞后结构的ARCH过程来代替。对于一个高阶ARCH过程，可以写成比较简洁的GARCH模型来代替。
二．衍生ARCH模型 1．ARCH?M过程
ARCH和GARCH模型假设扰动项的条件方差与被解释变量的期望无关。现在考虑条件方差影响期望的情况。
一个例子是：投资者投资时，投资者依据当前信息持有证券，当风险（条件方差）增大时，投资者需要的风险溢价增大。
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单变量非线性时间序列模型
