第二讲行列式综合训练
第一部分
例2.1计算行列式，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是零．
a1?
Dn=
1
a解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1利用性质，将行列式化为上三角行列式．
Dn=
1c1??cnaa?
1a0?1
a?
=(a?
1n?1nn?2)a=a-aaa方法2仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．
rn?r1
a?1?a1
a+1
c1+cn1
Dn=
=
a?
=an-an?2
a?1
a?1
0a0?10??
方法3利用展开定理，将行列式化成对角行列式．
c1展开
a?
+(?1)n+1
Dn=aan?1
0a0?10??
aa(?1)2n+1
0n?1
而
(?1)n+1
最后列展开
=
?=?an?2
a0n?1
an?2
Dn=a?an?1-an?2=an-an?2
方法4
利用公式
AO=AB．
OB将最后一行逐行换到第2行，共换了n?2次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了n?2次．
1
Dn=(?1)2(n?2)
a11a?
a1=
1aaa?
=an-an?2
an?2
方法5利用公式
AO=AB．
OB例2.2计算n阶行列式：
a1+b1a2?ana1a2+b2?anDn=
???a1a2?an+bn(bb12?bn≠0)
解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素a1,a2,?,an，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化
简后出现大量的零元素．
1a10a1+b1升阶Dn=0a1
??0a1
1+
c1+
1
a2
a2a2+b2
?a2
???
ananan?
?an+bnr2?r1r3?r1
?rn+1?r1
=
1a1
?1b1?10???10a20b2?0
?an?0?0
??bnbj?1
cja1a+?+1b1b1
00?0
a1a2?anb10?0
0?0aa=b1b2?bn(1+1+?+n)
b2?0b1bn??0?bnj=2,?,n+1
=
这个题的特殊情形是
a1+xa2?anna1a2+x?ann?1
Dn==x(x+∑ai)
???i=1a1a2?an+x可作为公式记下来．
例2.3计算n阶行列式：
2
1+a1
1?1
D1+a2?1n=
1???1
1?1+an其中a1a2?an≠0．
解这道题有多种解法．
方法1化为上三角行列式
1+a1
1?1
ab1?1Dri?r1
?a1+
11ac2
acjj0a2ni=2,=
?,n??
j=2,=
?,n???a1
an0ann其中b=1+a1a?n1??n1?
1+a1∑=1?1+=2ai?∑i=1a?，于是Dn=a1a2?an?1+i??
∑i=1a?．
ii?方法2升阶（或加边）法
111?111
1?101+a11?10?0D升阶n=011+a2
?
r1i?r?1a1=
1a2?
0????i=2,3,?,n+1
?10????011
?1+an?100
?ann1+∑
11
?
1
i=1
a1cj1+
1acj+1
jj=1,2,=
a1
?,n?1
a=a?n1?
1a2?an?2
?
1+∑?
i=1ai??
an方法3
递推法．将Dn改写为
1+a11?1+0
D11+a2?1+0
n=
???11?1+an1+a11?11+a11?0按cn拆开
=
11+a2?1???
+
11+a2?0
???11?1
11?an3
行列式典型例题汇编
