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∴AB（）＝ ∴ 例9：已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。 求证：． 答案：证明：∵EF//AB，AB//DC ∴EF//DC ∴△AOE∽△ACD，△DOE∽△DBA ∴， ∴ ∴ 例:10：如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。 求证：． 答案：证明：∵EF∥CD，EH∥AB ∴， .\\
∵， ∴△AFE∽△ADC，△CEH∽△CAB ∴∵EF＝EH ， ∴ ∴ 例11：已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：.答案：证明：∵EF∥AC，DE∥BC ∴∵，， ． ∴△BFE∽△BCA，△AED∽△ABC ∴， ∴∵EF＝DE＝a ∴ .\\
一线三角等题型： BC?3，P是线段AD边上的任意例12（2010年绍兴中考）如图，已知在矩形ABCD中，AB?2，一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE?PC交AB于E． （1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC?QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围． 解：（1）假设存在这样的点Q； ∵PE⊥PC， ∴∠APE+∠DPC=90°， ∵∠D=90°， ∴∠DPC+∠DCP=90°， ∴∠APE=∠DCP， 又∵∠A=∠D=90°， ∴△APE∽△DCP， ∴=， ∴AP?DP=AE?DC； 同理可得AQ?DQ=AE?DC； ∴AQ?DQ=AP?DP，即AQ?（3﹣AQ）=AP?（3﹣AP）， .\\
∴3AQ﹣AQ2=3AP﹣AP2， ∴AP2﹣AQ2=3AP﹣3AQ， ∴（AP+AQ）（AP﹣AQ）=3（AP﹣AQ）； ∵AP≠AQ， ∴AP+AQ=3（2分） ∵AP≠AQ， ∴AP≠，即P不能是AD的中点， ∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在． 当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．（1分） （2）设AP=x，AE=y，由AP?DP=AE?DC可得x（3﹣x）=2y， ∴y=x（3﹣x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+， ∴当x=（在0＜x＜3范围内）时，y最大值=； 而此时BE最小为， 又∵E在AB上运动，且AB=2， ∴BE的取值范围是≤BE＜2．（2分） 例13（2012年宁夏中考）在矩形ABCD中，AB?2，AD?3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP?PE，垂足为P，PE交CD于点E． （1） 连接AE，当?APE 与?ADE全等时，求BP的长； （2） 若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ （3） 若PE∥BD，试求出此时BP的长． .\\
解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知）， ∴AP=AD=3（全等三角形的对应边相等）； 在Rt△ABP中，BP===（勾股定理）； （2）∵AP⊥PE（已知）， ∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°， ∴∠APB=∠PEC， 又∵∠B=∠C=90°， ∴Rt△ABP∽Rt△PCE， ∴∴即=（相似三角形的对应边成比例）， ∴当x=时，y有最大值，最大值是； （3）如图，连接BD．设BP=x，∵PE∥BD， ∴△CPE∽△CBD， ∴（相似三角形的对应边成比例）， 即 化简得，3x2﹣13x+12=0 解得，x1=，x2=3（不合题意，舍去）， ∴当BP=时，PE∥BD． 例14（2012年宜宾中考）如图，在?ABC中，已知AB?AC?5，BC?6，且?ABC≌?DEF ，将?DEF 与?ABC重合在一起，?ABC不动，?DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：?ABE∽?ECM ；
初三相似三角形的基本模型
