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构造相似辅助线——A、X字型 例4：如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。 求证： 答案：证明：（方法一）如图 延长AE到M使得EM=AE，连接CM ∵BE=CE，∠AEB=∠MEC ∴ △BEA≌△CEM ∴CM=AB，∠1=∠B ∴AB∥CM ∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF ∴△MCF∽△ADF ∴ ∵CM=AB，AD=AC ∴ （方法二） .\\
过D作DG∥BC交AE于G 则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF ∴， ∵AD=AC，BE=CE ∴ 例5：四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。 求证： 答案：证明： 过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F，则∠2=∠3 ∵AC平分∠DAB ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AD=DF ∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3 ∴△BEA∽△DEF ∴∵AD=DF .\\
∴ ∵AC为AB、AD的比例中项 ∴ 即 又∵∠1=∠2 ∴△ACD∽△ABC ∴ ∴ ∴ 例6：在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实： (1)当时，EF=；(2)当时，EF=； (3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明． 答案： 证明： 过点E作PQ∥BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q ∵AB∥CD，PQ∥BC ∴四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形 .\\
∴PB＝EF＝CQ， 又∵AB＝b，CD＝a ∴AP＝PB-AB＝EF-b，DQ＝DC-QC＝a-EF ∴ ∴
例7：已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。 求BN：NQ：QM． 答案：解：连接MF ∵M是AC的中点，EF＝FC ∴MF∥AE且MF＝AE∴△BEN∽△BFM∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF∴BN：BM＝NE：MF＝1:2∴BN：NM＝1:1设NE＝x，则MF＝2x，AE＝4x∴AN＝3x∵MF∥AE∴△NAQ∽△MFQ∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2∵BN：NM＝1:1，NQ：QM＝3:2∴BN：NQ：QM＝5:3:2 .\\
相似类定值问题 例8：如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F． 求证：． 答案：证明： 如图，作DP∥AB，DQ∥AC 则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且△DPQ是等边三角形 ∴BP+CQ＝MN，DP＝DQ＝PQ ∵M、N分别是边AB，AC的中点 ∴MN＝BC＝PQ ∵DP∥AB，DQ∥AC ∴△CDP∽△CFB，△BDQ∽△BEC ∴， ∴ ∵DP＝DQ＝PQ＝BC＝AB
初三相似三角形的基本模型
