第十三章习题解答
13-1如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共而，且导线框的一个边与 长直
导线平行，到两长直导线的距离分别为e 心 已知两导线中电流都为I = I. sin cot, 其中Jo和0为常数，r为时间。导线框长为&宽为@求导线框中的感应电动势。
分析：当导线中电流I随时间变化时，穿过矩形线圈的磁通量也将随时间发生变化，用法拉 第电磁感应左律汁算感应电动势，其中磁通M＜D=f B-JS, B为两导线产生 dr \
的磁场的叠加。
解：无限长直电流激发的磁感应强度为B = 丛。取坐标&垂直于直导线，坐标原点取在 2nr 矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。取回路的绕行正方向为顺时针。由场强的 叠加原理可得x处的磁感应强度大小
B =
, 垂直纸面向里
2 兀（斤 +x） 2K（?; +x）
通过微分而积dS = （Mr的磁通量为
〃①=B^dS = B?dS = —— ----- ----- 卜— --- - adx
.2龙（斤+x） 2龙（勺+ x） _ 通过矩形线圈的磁通量为
朴
_ + _怛_ adx
2K（/J + x） 2n（7； + x）
2TC
感生电动势
O,—— --------------------------- — ----------------------
dr
2 冗 I
z
i
14+lg
/0 cos cot G )
\网 2TC
吕＞0时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针：勺＜0时，回路中感应电动势的实际方 向为逆时针。
13-2如题图13-2所示，有一半径为2-10cm的多匝圆形线圈，匝数2100,置于均匀磁场
B中(庆0.5T)。圆形线圈可绕通过圆心的轴QQ转动，转速用600rev/min。求圆线圈自图 示的初始位置转过龙/2时，
(1) 线圈中的瞬时电流值(线圈的电阻为斥100C,不计自感)； (2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度。
分析：应用法拉第电磁感应过律求解感应电动势。应用载流圆环在其圆心处产生的磁场公式 求出感应电流在圆心处产生的磁感应强度。 解：⑴ 圆形线圈转动的角速度ey=—= 20^- rad/s
60
设尸0时圆形线圈处在图示位置，取顺时针方向为回路绕行的正方向。则r时刻通过该回路 的全磁通
屮=NB^S = NBS cos cot = NB/rr2 cos cot
电动势
￡.= 一巴i = NB 兀r,osg cot dr
感应电流
NB7rrcos\\ncDt
1 ；=—= ------------------- r R R
将圆线圈自图示的初始位置转过兀/2时，cot=-
2 代入已知数值得： 厶=0.994
(2)感应电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为 B =^Z^L = 6.22X10-4T
2r
§的方向与均匀外磁场B的方向垂宜。
13-3均匀磁场P被限制在半径用10cm的无限长圆柱形空间，方向垂直纸而向里。取一固
圧的等腰梯形回路abed.梯形所在平而的法向与圆柱空间的轴平行，位置如题图13-3所示。
(\\R -- --- rr
设磁场以一 = lT/s的匀速率增加，已知Oa = Ob = 6cm , 0 = -.求等腰梯形回路a&d dr 3 感生电动势的大小和方向。
题图13-3
分析：求整个回路中的电动势，采用法拉第电磁感应左律，本题的关键是确定回路的磁通量。 解：设顺时针方向为等腰梯形回路绕行的正方向?则r时刻通过该回路的磁通量
其中S为等腰梯形a氐/中存在磁场部分的而积，英值为
s =丄疋&一丄(00)2 sin (9
2 2
电动势
d0 ,3 fl . 1 .? 1 dB
￡. =-------- = —S——=- —R~0 — (oa)~ sin 0 ——
dr dr \\_2 2 」dr
代入已知数值
^r=-3.68xlO-3V
“ - ”说明，电动势的实际方向为逆时针，即沿adc加绕向。用楞次定律也可直接判断电动 势的方向为逆时针绕向。
13-4如题图13-4所示，有一根长直导线，载有直流电流7,近旁有一个两条对边与它平 行并与
它共面的矩形线圈，以匀速度P沿垂直于导线的方向离开导线?设匚0时，线圈位于 图示位置，求：
(1)在任意时刻r通过矩形线圈的磁通量 (2)在图示位巻时矩形线圈中的电动势％。
分析：线圈运动，穿过线圈的磁通量改变，线圈中有感应电动势产生，求出t时刻穿过线圈 的磁通量，再由法拉第电磁感应定律求感应电动势。
解：(1)设线圈回路的绕行方向为顺时针。由于载流长直导线激发磁场为非均匀分布， B=￡丄。因此，必须由积分求得t时刻通过回路的磁通量。
2/rx
取坐标加垂直于直导线，坐标原点取在直导线的位置，坐标正方向为水平向右，则在任意 时刻
r通过矩形线圈的磁通量为
@訂反〃
Js dO
Ja+w 2^x
出心=剧1“匕
2龙 a + vt
(2)在图示位宜时矩形圈中的感应电动势
_“)〃呛一“)
dr f_0 27rab
电动势的方向沿顺时针绕向。
13-5如题图13-5所示为水平面的两条平行长直裸导线与Z/M',其间距离为/,其左端 与电动势为
窃的电源连接?匀强磁场鸟垂直于图而向里，一段宜裸导线必横嵌在平行导线 间(并可保持在导线上做无摩擦地滑动)，电路接通，由于磁场力的作用，訪从静止开始向 右运动起来。求：
(1) 必达到的最大速度；
(2) ab到最大速度时通过电源的电流几
分析：本题是包含电磁感应、磁场对电流的作用和全电路欧姆泄律的综合性问题。当接通电 源后，ab中产生电流。该通电导线受安培力的作用而向右加速运动，由于ab向右运动使穿 过回路的磁通量逐渐增加，在回路中产生感应电流，从而使回路中电流减小，当回路中电流 为零时，直导线ab不受安培力作用，此时ab达到最大速度。
解：(1)电路接通，由于磁场力的作用，訪从静止开始向右运动起来。设必运动的速度为
第十三章电磁场与麦克斯韦方程组习题解答和分析报告
