2020年全国高中数学联赛
（考试时间：上午8：00—9：40）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1. 如图，在正四棱锥P?ABCD中，∠APC=60°，则二面角A?PB?C的平面角的余弦值为（ ） A.
1 7B. ?1 7C.
1 2D. ?1 25. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ ）
6. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A(?3，0)，B(1，?1)，C(0，3)，D(?1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。 8. 在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，
CA?33，若AB?AE?AC?AF?2，则EF与BC的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，
23为半径作一个球，则球面3与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，
22a12?a2?a3b1=d，且是正整数，则q等于________。
b1?b2?b3sin(πx)?cos(πx)?215(?x?)，则f(x)的最小值为________。 11. 已知函数f(x)?44x2
12. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1
个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13. 设an?
1，求证：当正整数n≥2时，an+1 15. 设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。 2020年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P?ABCD中，∠APC=60°，则二面角A?PB?C的平面角的余弦值为（ ） A. 1 7B. ?1 7C. 1 2D. ?1 2P【答案】B 【解析】如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AMC为二面角A?PB?C的平面角。不妨设AB=2，则PA?AC?22，斜高为7，故 72?7?AM?22，由此得CM?AM?。在△AMC中，由余弦定理得 2AM2?CM2?AC21cos?AMC???。 2?AM?CM7 DMCBA 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a?2b+10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 52 81B. 59 81C. 60 81D. 61 81【答案】D 2 【解析】甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为9=81个。由不等式a?2b+10>0得2b 45?7?5?3?161?。 8181 4. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x?c)=1对任意实数x恒成
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(3)
