GCT数学2003-2011年真题与答案解析 第 36 页 共 80 页
的面积。
71所以一个周期内积分为?2?1?1,区间[1,7]共包括3个周期,则?f(x)dx?3?1?3。
122171即?f(g(x))dx??f(x)dx??3?1,故应选B。
031322.【答案】C
?1 0 1??1 0 0??2 0 2??0 0 1??,E??0 1 0?,则A2??0 4 0?,A?E??0 1 0?, 0 2 0【解析】A???????????2 0 2??1 0 0??1 0 1??0 0 1??????????1 0 2??。 A2?E??0 3 0???2 0 1????0 0 1??1 0 2????由AQ?E?A2?Q得:(A?E)Q?A2?E,即:??0 1 0?Q??0 3 0?。
?1 0 0??2 0 1?????用A?E的最后一行(1 0 0)与Q的乘积所得的结果(2 0 1)即为Q的第一行的行向量,故应选C。
23.【答案】D
【解析】因为矩阵A是三阶矩阵且秩r(A)=1。所以方程组AX=0的解只有两个独立的解向量。
?1 2 5即?1,?2,?3线性相关。由?1,?2,?3组成的行列式 3 ?1 0?0。
0 1 k?1 2 5又 3 ?1 0?15?5k?0,则k?3,故应选D。 0 1 k24.【答案】C
1 k 0【解析】向量组??k?,??kr,??r线性无关的充要条件是系数行列式0 1 k?0,
1 0 ?11 k 0即0 1 k?k2?1?0,k??1。故k?1是向量组??k?,??k?,???线性无关的必要1 0 ?1不充分条件,应选C。
25.【答案】B
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??2 0 0|?E?A|? 0 ? ?1=0【解析】矩阵B已经是对角矩阵,故其特征值为2,y和?1。
0 ?1 ??x得到,A矩阵的特征值方程:(??2)[?(??x)?1]?0。因为A的特征值和B的特征值对应相等,所以??y和???1是方程?(??x)?1?0的两根,将根代入方程得x?0,y?1,故应选B。
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2007年GCT入学资格考试数学基础能力试题
(25题,每题4分,满分100分,考试时间45分钟)
12?22????42?52?62?72?82?92?1021.的值是( )。
20?21?22?23?24?25?26?27112222A. B.? C.
51515112,3?的子集的个数为( )2.集合?0,,。
D.?11 51A.18 B.16 C.15 D.14
3.方程x?y?2?x?2y?0的解为( )。 ?x?0A.?
?y?2?x?3B.?
?y?1?x?4C.?
?y??2?x?2D.?
?y?3154.图中,大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形其中9位于角上的3个小长方形的面积已经标出,则角上第4个小长方形的面积等于( )。
12?A.22 B.20
C.18 D.11.25
5.一个直圆柱形状的量杯中放有一根长为12cm的细搅棒(搅棒直径不计),当搅棒的下端接触量杯下底时,上端最少可露出杯中边缘2cm,最多能露出4cm,则这个量杯的容积为( )cm3。
A.72? B.96? C.288? D.384?
6.甲乙两人沿同一路线骑车(匀速)从A区到B区,甲需用30min,乙需用40min。如果乙比甲早出发5min去B区,则甲出发后经( )min可以追上乙。
A.25 B.20 C.15 D.10
7.如图,∠BAF?∠FEB?∠EBC?∠ECD?90°,∠ABF?30°,∠BFE?45°,∠BCE?60°且AB?2CD,则tan∠CDE?( )。 BC4232 B. 388652C. D.
368.复数z?i?i2? i3? i4? i5? i6? i7,则?z?i??( )。
A.30°A60°D °45FE
A.1 B.2 C.3 D.2 9.有两个独立的报警器,当紧急情况发生时,它们发出信号的概率分别是0.95和0.92,则在紧急情况出现时,至少有一个报警器发出信号的概率是( )。
A.0.920 B.0.935 C.0.950 D.0.996
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b2a210.两个不等的实数a与b,均满足方程x?3x?1,则?的值等于( )。
abA.?18 B.18 C.36 D.?36
11.48支足球队,等分为8组进行初赛,每组中的各队之间都要比赛一场,初赛中比赛的总场数为( )。
2
A.288
B.240 C.120 D.48
x?1mn12.当x??1或x??2时,2恒成立,则( )。 ??x?3x?2x?1x?2A.m??2,n?3 B.m??3,n?2 C.m?2,n??3 D.m?3,n??2 13.对任意两个实数a,b,定义两种运算:
?a,如果a≥b?b,如果a≥ba?b??和a?b??
a,如果a?bb,如果a?b??算式(5?7)?5和算式(5?7)?7分别等于( )。 A.5和5 B.5和7 C.7和7 D.7和5
14.△ABC中,∠A:∠B:∠C?3:2:7,如果从AB上的一点D做射线l,交AC或BC边于E点,使∠ADE?60°,且l分△ABC所成两部分图形的面积相等,那么( )。
A.l过C点(即E点与C重合) B.l不过C点而与AC相交 C.l不过C点而与BC相交 D.l不存在
15.在圆x2?y2?6x?8y?21?0所围区域(含边界)中,P(x,y)和Q(x,y)是使得
y分别取得最大值和最小值的点,线段PQ的长是( )。 x223221421A. B. C. 555x?1????16.设y?ln?tan??ln,则y'???( )。
22?????4A.1 B.?1 C. 216??fx)?4,则必定( )17.若lim(。
x?1D.423 5D.
8 216??A.f(1)?4 B.f(x)在x?1处无定义
C.在x?1的某邻域(x?1)中,f(x)?2 D.在x?1的某邻域(x?1)中,f(x)?4
1x?3(ft)dt的图形,按?x?x3此排序,它们与图中所标示y,y,y的对应关系是( )。 ()()()1x2x3xA.y B.y (),y(),y()(),y(),y()1x2x3x1x3x2x18.下图中的三条曲线分别是:① f(x),②
x?1(ft)dt,③
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C.y (),y(),y()3x1x2xy54321O?1?2?3?4y(2x)y=y(1x)y=y(2x)y=y(3x)123456xy(3x)y(1x)D.y (),y(),y()3x2x1x
19.设函数f(x)可导,且f(0)?1,f?(?lnx)?x,则f(1)?( )。 A.2?e?1 B.1?e?1 C.1?e?1 D.e?1
120.曲线y?x?上的点与单位圆x2?y2?1上的点之间的最yx短距离为d,则( )。
A.d?1 B.d?(0,1)
C.d?2
(,1 2)D.d?
O1y=x +xx2+y2=11?13x?t2y=x +x?3?0(e?1)dt,x?021.若函数(在x?0点连续,fx)??x ?x?0?a,则a?( )。
A.?9 B.?3 C.0 D.1
?110???
01122.A?是A????的伴随矩阵。若三阶矩阵X满足AX? A,则X的第3行的行向?101???量是( )。
A.(2 1 1)
x101B.(1 2 1)
?11?C.?1?
?22??11?1? D.??22?23.行列式
01x11x10101x展开式中的常数项为( )。
A.4 B.2 C.1 D.0
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