GCT数学2003-2011年真题与答案解析 Page 31 of 80
2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题
参考答案与解析
1．【答案】C
111111【解析】原式=(11+22+33+44+55+66+77)?(?????)
248163264111??(11?77)?7264216363=??308?1??308??308，故应选C。
126464641?22．【答案】D
【解析】设这100个学生中有电脑但没有手机的共有x人，既有电脑又有手机的共有y人。
?x?y?76则由已知得：?，解得：x=3，y=73。故正确答案为D。
y?15?88?3．【答案】B
【解析】设大半圆和小半圆的半径分别为R和r。
因为AB//MN，则大半圆圆心到弦AB的距离为AB与MN间的距离，又因为AB与小半
1圆相切，则这个距离为r。得到R2?r2?(AB)2?25。
211??阴影部分面积=A大半圆?A小半圆??R2??r2=(R2?r2)??25?12.5?cm2。
2222故应选B。 4．【答案】C
2??x?2006x?2007，x≥0【解析】方法一，直接求解。原方程等价于方程组?2??x?2006x?2007，x?0①②
由①得：x??1（舍去），x=2 007；由②得：x=1（舍去），x??2007。 实数根之和=2 007?（?2 007）=0，故应选C。
方法二，函数f(x)?x2?2006x?2007为偶函数，则方程f(x)?0的根关于y轴对称，且成对出现，故这些根的和为0 。
5．【答案】B
【解析】如图所示。根据图形对称性得：AE?C?E?x
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因为BE?EC??BC??BC?8
所以BE?8?EC??8?x。在Rt△ABE中，
C'BE2=AB2?AE2，即(8?x)2=x2?42
解方程得：AE=x=3。阴影△BED的面积 A△BED= A△ABD? A△ABE?1?4?8?1?4?3?10。
22故应选B。 6．【答案】A
22AED4B8C1i2【解析】因为i??1，所以1??i。复数z?????i，故其共轭复数z?i，应选A。
ii7．【答案】D ?20?【解析】设取出球后容器中水面的高度为h，则水的体积V水????h?100?h。
?2?20?4?10?1??V容器?V球????10???8?100?。 取出球前V水????3?2?3?2?23211?，得：100?h?8?100?，则h?8。 因为取球前后水的体积不变，即V水?V水33故应选D。 8．【答案】A
b【解析】的值相当于线段OP所在直线的斜率。在第一象限内此斜率随着倾斜角的增
ay大而增大。因此从右图中可以看出：
p?b?当P点与A点重合时，OP斜率最大，即???；
?a?maxmq?b?当P点与C点重合时，OP斜率最小，即???。
?a?minn故应选A。
9．【答案】B
【解析】量杯中剩余的酒精量为10?49%=
10?a10?a??a，整理得a2?20a?51?0。
10解方各得a?3或a?17（舍去），故应选B。 10．【答案】B
A(m, p)D(n, p)p(a, b)B(m, q)OC(n, q)x1AB?r。2同理在椭圆面内作OD⊥AB交椭圆于点D，连接CD。OD是椭圆的半长轴，长度设为b，且D点是C点的投影点，则CD平行于光线，即∠ODC为光线与地平面所成的角。
【解析】过线段AB的中点O在木板半圆面内作OC⊥AB交半圆于点C，则OC=
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因为AB⊥OC，AB⊥OD，所以∠COD为两面夹角，又木板面垂直于地面，则∠COD=90°。
11半圆面积为?r2，半椭圆的面积为?rb，因为C221?rb2B?3，则OD?b?3r。 12?rOD2AOCrr3在Rt△COD中，tan?ODC?，???ODb33r∠ODC=30°，故应选B。
11．【答案】A
484484848【解析】当主动轴的齿数为48时，变速比为?，?2，?3，?4共4种。
3632416123636336936当主动轴的齿数为36时，变速比为?1，?，?，?3，共4种。
36242164122422424324当主动轴的齿数为24时，变速比为?，?1，?，?2，共4种。
3632416212其中变速比相同的有四对，故变速比的种数为4?4?4?4=8，应选A。 12．【答案】C
【解析】因为A、B、C恰为三角形的3个顶点，所以CA?CB?AB?2。
又线段AC与BC的长是不等的两个正整数，则CA?CB是一个正整数且它的值小于2，所以CA?CB?1，AB=2，符合双曲线的定义，故动点C必在某双曲线上，即应选C。
13．【答案】C
3【解析】从桌上所有的书（共15本）中任取3本的方式有C15种，3本中每样各一本的
11C11086C6C3?取法共有CCC种，则所求概率为。故应选C。 3455C1516161314．【答案】A
【解析】设这n?2个数组成的等比数列的公比为q，数列记为?an?，则an?2?a1qn?1。 其中a1?1，an?2?n?1，故1?n?qn?1。这n?2个数均为正数，则q?0。 所插入的n个正数之积S?a2a3a4即S?q?q?q23n2an?1?(a1q)?(a1q2)?(a1q3)(n?1)n2(a1qn)
q?qn(1?2?3??n)?q?q?nn?12?，又1?n?qn?1，
所以S?(1?n)。故应选A。 15．【答案】D
【解析】因为二次函数f(x)?ax2?bx?c的对称轴为x?1，且图象过点（2，0）。
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?b?1?b??2a??所以得到?2a即?。
c?0?a?22?b?2?c?0??又f(?1)?a?b?c?3a，f(1)?a?b?c??a 则16．【答案】D
【解析】因为f(x)?0且导数存在。
f(?1)3a???3，故应选D。 f(1)?a111f(a?)f(a?)lnf(a?)?lnf(a)n?limxlnx?limx所以limnlnn??x???x???1f(a)f(a)x 111?f?(a?)?(?2)11xxf(a?)f?(a?)xx?f?(a)?lim?limx???x???11f(a)(?2)f(a?)xx另一种方法：令g(x)?lnf(x)，由f(x)?0且导数存在知g(x)可导。 11f(a?)f(a?)n?limxlnx=limlnf(a?t)?lnf(a) limnlnn??x???t?0f(a)f(a)tg(a?t)?g(a)?g?(a)
t?0tf?(x)f?(a)因为g?(x)??lnf(x)???，所以g?(a)?，故应选D。
f(x)f(a)?lim17．【答案】A
【解析】当0?x?1时，y??(x?1)(3x?1)，y???6x?4，则y?13x??0，y??x?23?0。
当1?x?2时，y??(x?1)(3x?5)，y???6x?8，则y?x?53?0，y??x?43?0。
15因为y?x(x?1)2和y?(x?1)2(x?2)是初等函数，所以x?，x?是原函数的极值点，
3324x?，x?是原函数的拐点。
3351当x?1时，原函数连续，yx?1?0，且?x?1时，y??(x?1)(3x?1)?0；1?x?时。
33y??(x?1)(3x?5)?0，故x?1点不是原函数的极值点。
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又原函数的导函数在x?1处连续，即y?x?1?0，且
2?x?1时，y???6x?4?0。 34时，y???6x?8?0，则知x?1处是原函数的拐点。 32??x(x?1), 0≤x≤1综上所述，曲线y??在（0，2）区间内有2个极值点，3个拐2??(x?1)(x?2), 1?x≤2点。即应选A。
18．【答案】C
【解析】正圆锥的母线长、高和底面圆半径满足勾股定理，即r2?h2?52?25。
1?x?312121250312因为25=r?h?r?r?h≥3r4h2，所以r2h≤（当且仅当r2?h2时
22492等号成立）。
221?2503250325031r圆锥体积V??r2h≤???，Vmax??，此时r2?h2，?2，33927272h故应选C。
19．【答案】B
【解析】令?(x)??x04a2?t2dt??ax14a?t22dt,x?[0,a]。
0a则??(x)?4a2?x2?14a?x22?0。且?(0)??14a?t22dt???14a2?t2a014a?t22dt，
?(a)??a04a2?t2dt。因为?(0)和?(a)中的被积函数和4a2?t2[0,a]上
均大于0，且?(0)和?(a)的积分上限a大于积分下限0。
aa1所以?(0)???dt?0，?(a)??4a2?t2dt?0
004a2?x2又?(x)?0，即?(x)在[0,a]上严格单调递增，所以方程?(x)?0在[0,a]上只有一个根，故应选B。
20．【答案】A
【解析】该厂产值的增长速度是曲线P?f(x)的斜率f?(x)。因为f??(x)?0，即图形下凹时，f?(x)增大；f''(x)?0，即图形上凸时，f?(x)减小。观察图形的凸凹性得到答案A。
21．【答案】B
1【解析】g(x)是线性函数且过(?,0)和（0，1）两点，故g(x)?3x?1。
322711717f(g(x))dx?f(3x?1)dx=f(t)dt?f(t)dt?f(x)dx。 ?0?0?133?13?1因为函数f(x)是以2为周期的连续周期函数，且f(x)在一个周期内积分的值为三角形
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