GCT数学2003-2011年真题与答案解析 Page 31 of 80
2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题
参考答案与解析
1.【答案】C
111111【解析】原式=(11+22+33+44+55+66+77)?(?????)
248163264111??(11?77)?7264216363=??308?1??308??308,故应选C。
126464641?22.【答案】D
【解析】设这100个学生中有电脑但没有手机的共有x人,既有电脑又有手机的共有y人。
?x?y?76则由已知得:?,解得:x=3,y=73。故正确答案为D。
y?15?88?3.【答案】B
【解析】设大半圆和小半圆的半径分别为R和r。
因为AB//MN,则大半圆圆心到弦AB的距离为AB与MN间的距离,又因为AB与小半
1圆相切,则这个距离为r。得到R2?r2?(AB)2?25。
211??阴影部分面积=A大半圆?A小半圆??R2??r2=(R2?r2)??25?12.5?cm2。
2222故应选B。 4.【答案】C
2??x?2006x?2007,x≥0【解析】方法一,直接求解。原方程等价于方程组?2??x?2006x?2007,x?0①②
由①得:x??1(舍去),x=2 007;由②得:x=1(舍去),x??2007。 实数根之和=2 007?(?2 007)=0,故应选C。
方法二,函数f(x)?x2?2006x?2007为偶函数,则方程f(x)?0的根关于y轴对称,且成对出现,故这些根的和为0 。
5.【答案】B
【解析】如图所示。根据图形对称性得:AE?C?E?x
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因为BE?EC??BC??BC?8
所以BE?8?EC??8?x。在Rt△ABE中,
C'BE2=AB2?AE2,即(8?x)2=x2?42
解方程得:AE=x=3。阴影△BED的面积 A△BED= A△ABD? A△ABE?1?4?8?1?4?3?10。
22故应选B。 6.【答案】A
22AED4B8C1i2【解析】因为i??1,所以1??i。复数z?????i,故其共轭复数z?i,应选A。
ii7.【答案】D ?20?【解析】设取出球后容器中水面的高度为h,则水的体积V水????h?100?h。
?2?20?4?10?1??V容器?V球????10???8?100?。 取出球前V水????3?2?3?2?23211?,得:100?h?8?100?,则h?8。 因为取球前后水的体积不变,即V水?V水33故应选D。 8.【答案】A
b【解析】的值相当于线段OP所在直线的斜率。在第一象限内此斜率随着倾斜角的增
ay大而增大。因此从右图中可以看出:
p?b?当P点与A点重合时,OP斜率最大,即???;
?a?maxmq?b?当P点与C点重合时,OP斜率最小,即???。
?a?minn故应选A。
9.【答案】B
【解析】量杯中剩余的酒精量为10?49%=
10?a10?a??a,整理得a2?20a?51?0。
10解方各得a?3或a?17(舍去),故应选B。 10.【答案】B
A(m, p)D(n, p)p(a, b)B(m, q)OC(n, q)x1AB?r。2同理在椭圆面内作OD⊥AB交椭圆于点D,连接CD。OD是椭圆的半长轴,长度设为b,且D点是C点的投影点,则CD平行于光线,即∠ODC为光线与地平面所成的角。
【解析】过线段AB的中点O在木板半圆面内作OC⊥AB交半圆于点C,则OC=
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因为AB⊥OC,AB⊥OD,所以∠COD为两面夹角,又木板面垂直于地面,则∠COD=90°。
11半圆面积为?r2,半椭圆的面积为?rb,因为C221?rb2B?3,则OD?b?3r。 12?rOD2AOCrr3在Rt△COD中,tan?ODC?,???ODb33r∠ODC=30°,故应选B。
11.【答案】A
484484848【解析】当主动轴的齿数为48时,变速比为?,?2,?3,?4共4种。
3632416123636336936当主动轴的齿数为36时,变速比为?1,?,?,?3,共4种。
36242164122422424324当主动轴的齿数为24时,变速比为?,?1,?,?2,共4种。
3632416212其中变速比相同的有四对,故变速比的种数为4?4?4?4=8,应选A。 12.【答案】C
【解析】因为A、B、C恰为三角形的3个顶点,所以CA?CB?AB?2。
又线段AC与BC的长是不等的两个正整数,则CA?CB是一个正整数且它的值小于2,所以CA?CB?1,AB=2,符合双曲线的定义,故动点C必在某双曲线上,即应选C。
13.【答案】C
3【解析】从桌上所有的书(共15本)中任取3本的方式有C15种,3本中每样各一本的
11C11086C6C3?取法共有CCC种,则所求概率为。故应选C。 3455C1516161314.【答案】A
【解析】设这n?2个数组成的等比数列的公比为q,数列记为?an?,则an?2?a1qn?1。 其中a1?1,an?2?n?1,故1?n?qn?1。这n?2个数均为正数,则q?0。 所插入的n个正数之积S?a2a3a4即S?q?q?q23n2an?1?(a1q)?(a1q2)?(a1q3)(n?1)n2(a1qn)
q?qn(1?2?3??n)?q?q?nn?12?,又1?n?qn?1,
所以S?(1?n)。故应选A。 15.【答案】D
【解析】因为二次函数f(x)?ax2?bx?c的对称轴为x?1,且图象过点(2,0)。
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?b?1?b??2a??所以得到?2a即?。
c?0?a?22?b?2?c?0??又f(?1)?a?b?c?3a,f(1)?a?b?c??a 则16.【答案】D
【解析】因为f(x)?0且导数存在。
f(?1)3a???3,故应选D。 f(1)?a111f(a?)f(a?)lnf(a?)?lnf(a)n?limxlnx?limx所以limnlnn??x???x???1f(a)f(a)x 111?f?(a?)?(?2)11xxf(a?)f?(a?)xx?f?(a)?lim?limx???x???11f(a)(?2)f(a?)xx另一种方法:令g(x)?lnf(x),由f(x)?0且导数存在知g(x)可导。 11f(a?)f(a?)n?limxlnx=limlnf(a?t)?lnf(a) limnlnn??x???t?0f(a)f(a)tg(a?t)?g(a)?g?(a)
t?0tf?(x)f?(a)因为g?(x)??lnf(x)???,所以g?(a)?,故应选D。
f(x)f(a)?lim17.【答案】A
【解析】当0?x?1时,y??(x?1)(3x?1),y???6x?4,则y?13x??0,y??x?23?0。
当1?x?2时,y??(x?1)(3x?5),y???6x?8,则y?x?53?0,y??x?43?0。
15因为y?x(x?1)2和y?(x?1)2(x?2)是初等函数,所以x?,x?是原函数的极值点,
3324x?,x?是原函数的拐点。
3351当x?1时,原函数连续,yx?1?0,且?x?1时,y??(x?1)(3x?1)?0;1?x?时。
33y??(x?1)(3x?5)?0,故x?1点不是原函数的极值点。
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又原函数的导函数在x?1处连续,即y?x?1?0,且
2?x?1时,y???6x?4?0。 34时,y???6x?8?0,则知x?1处是原函数的拐点。 32??x(x?1), 0≤x≤1综上所述,曲线y??在(0,2)区间内有2个极值点,3个拐2??(x?1)(x?2), 1?x≤2点。即应选A。
18.【答案】C
【解析】正圆锥的母线长、高和底面圆半径满足勾股定理,即r2?h2?52?25。
1?x?312121250312因为25=r?h?r?r?h≥3r4h2,所以r2h≤(当且仅当r2?h2时
22492等号成立)。
221?2503250325031r圆锥体积V??r2h≤???,Vmax??,此时r2?h2,?2,33927272h故应选C。
19.【答案】B
【解析】令?(x)??x04a2?t2dt??ax14a?t22dt,x?[0,a]。
0a则??(x)?4a2?x2?14a?x22?0。且?(0)??14a?t22dt???14a2?t2a014a?t22dt,
?(a)??a04a2?t2dt。因为?(0)和?(a)中的被积函数和4a2?t2[0,a]上
均大于0,且?(0)和?(a)的积分上限a大于积分下限0。
aa1所以?(0)???dt?0,?(a)??4a2?t2dt?0
004a2?x2又?(x)?0,即?(x)在[0,a]上严格单调递增,所以方程?(x)?0在[0,a]上只有一个根,故应选B。
20.【答案】A
【解析】该厂产值的增长速度是曲线P?f(x)的斜率f?(x)。因为f??(x)?0,即图形下凹时,f?(x)增大;f''(x)?0,即图形上凸时,f?(x)减小。观察图形的凸凹性得到答案A。
21.【答案】B
1【解析】g(x)是线性函数且过(?,0)和(0,1)两点,故g(x)?3x?1。
322711717f(g(x))dx?f(3x?1)dx=f(t)dt?f(t)dt?f(x)dx。 ?0?0?133?13?1因为函数f(x)是以2为周期的连续周期函数,且f(x)在一个周期内积分的值为三角形
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