GCT数学2003-2011年真题与答案解析 第 26 页 共 80 页
【解析】由A????，2为A的特征值。
?3?11??，??2代入即可求出答案为D。 201将A?????1?12???24．【答案】A
【解析】因为X为n维单位列向量，XT?X?1 所以G2?XXT?XXT=X?XT=G 故选A。 25．【答案】B
【解析】x3?2x?4?0的三个根显然很难解。
a，b，c是三次方程x3?2x+4=0的三个根，则(x?a)(x?b)(x?c)=0与方程x3?2x+4=0等价，即x3? (a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x?abc=0与x3?2x+4=0等价。对应系数相等得：abc=?4，a+b+c=0。原行列式=3abc?(a3+b3+c3)=3abc?(2a?4+2b?4+2c?4)=12+3abc?2(a+b+c)=12+3?(?4) ?2?0=0，故选B。
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2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题
（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）
1111111．11?22?33?44?55?66?77?（ ）。
248163264127153163A．308 B．308 C．308 D．308
1281632642．100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没有手机的共有（ ）人。
A．25 B．15 C．5 D．3 3．如图所示，小半圆的直径EF落在大半圆的直径MN上，大半
AB圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB=10cm，则图中阴影部MNEF2
分的面积为（ ）cm。
A．10? B．12.5? C．20? D．25?
4．方程x2?2 006x=2 007所有实数根的和等于（ ）。
A．2 006 B．4 C．0 D．?2 006 5．已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平如图所示，则阴影三角形的面积等于（ ）。
4A．8 B．10
8C．12 D．14
16．复数z?的共轭复数z是（ ）。
iA．i B．–i C．1 D．–1
20cm7．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，将一个实心铁球放入
该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假10cm设原水量不受损失），则容器中水面的高度为（ ）。
1111A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
33338．P (a，b)是第一象限内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D的坐标
b如图所示，则的最大值与最小值依次是（ ）。 yaA(m, p)D(n, p)qqpPA．， B．， P(a, b)nmnmC(n, q)B(m, q)qqpxOC．， D．P， nmnm
GCT数学2003-2011年真题与答案解析 第 28 页 共 80 页
9．一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出a升溶液后再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量a为（ ）升。
A．2.55 B．3 C．2.45 D．4 10．如图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与半圆的直径AB垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于
3，那么光线与地平面所成的角度是（ ）。
BAA．15° B．30° C．45° D．60°
11．某型号的变速自行车主动轴有3个同轴的齿轮，齿数分别是48、36和24，后轴上有4个同轴的齿轮，齿数分别是36、24、16和12，则这种自行车共可获得（ ）种不同的变速比。
A．8 B．9 C．10 D．12
12．在平面?上给定线段AB=2，在?上的动点C，使得A，B，C恰为一个三角形的3个顶点，且线段AC与BC的长是不等的两个正整数，则动点C所有可能的位置必定在某（ ）上。
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线
13．桌上有中文书6本、英文书6本、俄文书3本。从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是（ ）。
41108414A． B． C． D．
9110845545514．设n为正整数，在1与n?1之间插入n个正数，使这n?2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于（ ）。
A．(1?n)
n2B．(1?n)n C．(1?n)2n D．(1?n)3n
f(?1)=（ ）。 f(1)15．设二次函数f (x)=ax2?bx?c的对称轴为x=1，其图像过点（2，0），则A．3
B．2
C．?2
D．?3
1f(a?)n?（ ）16．设f (x)>0，且导数存在，则limnln。
n??f(a)A．0 B．? C．lnf '(a) D．
f'(a) f(a)2??x(x?1),17．曲线y??2??(x?1)(x?2),0≤x≤11?x≤2。 在(0,2)区间内有（ ）
B．2个极值点，2个拐点
A．2个极值点，3个拐点
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C．2个极值点，1个拐点
D．3个极值点，3个拐点
r18．设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r。在正圆锥的体积最大时，=（ ）。
h1A．B．1 C．2 D．3 2 219．设a?0，则在?0,a?上方程?x04a2?t2dt??xa14a?t22。 dt?0根的个数为（ ）
D．3
A．0 B．1 C．2
20．如图所示，曲线P=f(x)表示某工厂十
P年间的产值变化情况。设f(x)是可导函数，从图
形上可以看出该厂产值的增长速度是（ ）。
A．前两年越来越慢，后五年越来越快 B．前两年越来越快，后五年越来越慢 C．前两年越来越快，后五年越来越快
0D．前两年越来越慢，后五年越来越慢
21．如图所示，函数f(x)是以2为周期的连续周期 函数，它在?0,2?上的图形为分段直线，g(x)是线性函 数，则?f(g(x))dx?（ ）。
02P=f (t)2510t（年）yy=g(x)1y=f (x)1 22C．
3A．
B．1
?13012x3D．
2
?101??，E为三阶单位矩阵.若三阶矩阵Q满足关系AQ?E?A2?Q，则Q02024．设A?????101???的第一行的行向量是（ ）。
A．(101) B．(102) C．(201) D．(202)
23．三阶矩阵A的秩r(A)?1，?1?(?130)T，?2?(2?11)T，?3?(50k)T是方程组 。 AX?0的三个解向量，则常数k?（ ）
A．?2 B．?1
C．2
D．3
24．已知向量组?,?,?线性无关，则k?1是向量组??k?，??k?，???线性无关的 （ ）。
A．充分必要条件
C．必要条件，但非充分条件
B．充分条件，但非必要条件 D．既非充分也非必要条件
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?200??200????25．矩阵A???001?，B??0y1?，若A的特征值和B的特征值对应相等，则其中?01x??00?1?????（ ）。
A．x?1，y?1
B．x?0，y?1
C．x??1，y?0
D．x?0，y??1
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