GCT数学2003-2011年真题与答案解析 Page 21 of 80
A．a
B．1
C．0
??aD．af（ ）?x）dx=（ ）fx）20．设x2lnx是（的一个原函数，则不定积分?xf（。
21A．x3lnx?x3?C B．2x?x2lnx?C
39C．x2lnx?x2?C D．3x2lnx?x2?C
a?内严格单调递增，且（21．设连续函数y?（f0）?0，（fa）?a，若f）x在?0，fx）?（gx））dx=（ ）。 （gx）是（f）x的反函数，则?（（0a22a）?g（a）A．f（ 2a）B．f（
fx）dx C．2?（0agx）dx D．2?（a0?0???1??1??0??2???1???1??0??2???，?3???，?4???，则向量组22．设向量?1???，的一个（?1，?2，?3，?4）?1???1??0??1??????????1???1??0???1?极大线性无关组是（ ）。
A．?3，B．?1，?4 ?2，?3，?4
C．?1，?2，?3 D．?1，?2，?4
?3?11??23．设A??。 ?201?，则A的对应于特征值2的一个特征向量是（ ）
?1?12????1??1??0??1????1??1??1?0A．? B． C． D．???????? ?1??0???1??0?????????24．已知X为n维单位列向量，XT为X的转置，En为单位矩阵，若G?XXT，则G2
等于（ ）。 A．G
B．?G
C．1
D．En
abc25．设a，b，c是方程x3?2x?4?0的三个根，则行列式bca的值等于（ ）。
cabA．1 B．0 C．?1 D．?2
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2005年GCT入学资格考试数学基础能力试题
参考答案与解析
1．【答案】A
【解析】细心观察一下此题很有规律。
11238??22349原式=?9?
（0.1?0.9）?（0.2?0.8）?（0.3?0.7）?（0.4?0.6）?0.59812故A为正确答案。 2．【答案】C
【解析】此题看起来很复杂，有未知数存在，但如果我们应用韦达定理问题就简单多了，因为p为正数，故两根之和为负数，故C为正确答案。
3．【答案】D
【解析】因为AC?BD
111所以A四ABCD?A△ABC?A△ADC??AC?（OB??ODAC）?OD ACOB222
111?AC（OB?OD）?AC?BD??30?36?5402221故D为正确答案。?AC ?BD4．【答案】C 2【解析】根据题意，设需x天完成。则有：
123?（8?6）?x?
8?353x?40
故选C。 5．【答案】B
①?x?y?5?z?x?5③ 【解析】由已知?z?y?10②?将①、②、③式的两边分别平方后相加即得。
（2x2?y2?z2）?（2xy?yz?zx）?150 所以x2?y2?z2?xy?yz?zx?75
故选B。 6．【答案】D
【解析】此题可设全国人口为a，国内生产总值为b。
def%?bd%?b则由题意，有甲省人均生产总值为，乙省为故二者的比值为。
cfe%?ac%?a
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解此类题就是把未知的假设出来，问题一下就可以简化易解了。从而得出答案为D。 7．【答案】C 【解析】由复数的性质，z2?z。
2故z?（2）?2 （1?i）?22故选C。 8．【答案】A
【解析】此题可以按等差或按等比将三个数设出来，再根据性质求解方程组显然麻烦。 这里我们直接利用等差中项：2b?a?c ① 等比中项 c2?ab ② 联立①②可得：4b2?a2?5ab?0 ③ ?a??a?将等式两边同时除b，即???5???4?0
?b??b?aa显然得?4或?1（舍去）
bb故选A。
22 ④
9．【答案】B
【解析】显然这些数都是由数字0～9组合成的。 其中平方数的末位数为4的只有数字2和8。
21故其概率为??0.2
105故选B。 10．【答案】B
【解析】此题实质就是比较甲、乙两容器的体积。
112?V甲??（?）?1??V乙32?8 ??14V甲V乙????13??23?故V乙是V甲的8倍，即至少注入8次，答案为B。
11．【答案】B
【解析】首先按题意作图，显然△ABC为直角三角形，其中∠C?90?，而M，N为圆上两点，故△MCN为直角三角形，由圆以几何性质可知，即CD到AB的MN即为此圆的直径，距离，即为B答案。
12．【答案】A
?【解析】此题要是按cos展开计算非常麻烦，我们这里就以特殊代一般，这是解（??）6决选择题的最好办法。
设a??1，则cos???1，sin??0。
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3??? 所以cos （??）?cos??cos?sin??sin??2666故选A。 13．【答案】C
2【解析】如图所示，可设P （x，）x1221则S△PMN?PN?PM=?x? ?2x22yNOPMx故选C。
14．【答案】C
【解析】如图所示，由垂径定理可知AM?4。 故MO?8MP?6
所以，OP?10。 故选C。 15．【答案】B
【解析】由x2cos??y2sin??2?0变形得
OA?4MB?12P（6，m）xy2x2??1 22sin?cos?22（x?cos?）?（y?sin?）?1，圆心又在第四象限。 （?cos?，?sin?）所以cos??0，sin??0。 故为椭圆，选B。 16．【答案】D
?1?x≥0???1≤x≤1?1?x≥0????0≤x≤1?0.5≤x≤1 【解析】由已知可得??0≤sinπx≤1?13??≤x≤0≤1?cosπx≤1??22故选D。
17．【答案】D 【解析】当limf（x）??，limf（x）??
x?1x?2故x?1，x?2为两条竖直渐近线。
x21limf（x）?lim2?lim?1 x???x???x?3x?2x???321??2xx?x2limf（x）?lim2??1 x???x???x?3x?2故y??1为2条水平渐近线。 故选D。
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18．【答案】C
1211【解析】因为f（）?，令?t，n?
nnnt所以f （）x?2x（）t?2t 即 f由导数定义，在0处可导，
f（x）?f（）02x?0?0?lim即f（）?lim?2
x?0x?0x?0x故选C。 19．【答案】A 【解析】
?x?a?xf（）?f（）????x==a lim?a?alimf（lim?f（x?a）?f（x））??x???（x?ax????x???）?x故选A。
20．【答案】C
fx）（?x2lnx）?=2xlnx?x 【解析】由题意（ ①
?x）dx??xd（fx）?xf（x）??（fx）dx又?xf（
2（x）?（2xlnx?x）dx?xf（x）?lnxdx??xdx 将①式代入原式?xf???xf（x）?lnx?x2??xdx??xdx?x2lnx?x2?C
故选C。
21．【答案】B
【解析】此题如利用积分反函数将原式变形计算会很复杂。
fx）在?0，a?上单增，这里我们用数形结合，由题意（（f0）?0，（fa）?a。故可设图象如图所示。
ayf （x）f（x） 则?a0fx）?（gx）?（?dx=?0a（fx）dx??（gx）dx
0aaa0afx）dx??（gy）dy 因为（为（的反函数，故原式=?（gx）fx）00x由此式可以看出原式实质上为两个图形与x,y轴围成图形的
2a）面积，即为边长为a的正方形的面积a2即f（。
故选B。
22．【答案】D
【解析】设A?(?1，?2，?3，?4)
0??0?110??0?110??0?11?2?1?10??20?20??10?10???????? ???1?101??10?11??0001???????1?10?1000?20000???????2，?4或?2，?3，?4都可以，所以选D。 显然，极大线性无关组?1，23．【答案】D
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