GCT数学2003-2011年真题与答案解析 Page 11 of 80
A．
3 4B．
?3 4C．?1 12D．
1 1217．过点作曲线y?sinx的切线，设该曲线与切线及y轴所围成的面积为A1，（p,sinp）曲线与直线x?p及x轴所围成的面积为A2，则（ ）。
A．lim?p?0A21A21? B．lim??
p?0AA1?A2321?A2C．lim?p?0A22A2? D．lim??1
p?0A1?A23A1?A218．如下不等式成立的是（ ）。
A．在（?3，0）区间上，ln3?x?ln （3?x）C．在[0，区间上，ln3?x?ln ??）（3?x）πB．在（?3，0）区间上，ln3?x?ln （3+x）D．在 [0，区间上，ln3?x?ln ??）（3+x）πfxsinx）sinxdx?1，则?（fxsinx）xcosxdx?（ ）19．设（为连续函数，且?（。 fx）00A．0 B．1 C．?1 D．?
（2-1）x2把曲线y= x（b?x）20．如图，抛物线y?（b?0）与x轴所构成的区域面积分
为AA与AB两部分，则（ ）。
yy?（2?1）x2y=x（b?x）ABAAObx
A．AA?AB C．AA?AB a1121．设a21a31a12a22a32
B．AA?AB
D．AA与AB的大小关系与b的数值有关
?2a12?2a22?2a32?2a13?2a23?（ ）。 ?2a33?2a11a13a23?M?0，则行列式?2a21?2a31a33A．8M B．2M C．?2M D．?8M
22．若向量?，?，? 线性无关，而向量?+2?，2?+k?，3?+? 线性相关，则k=（ ）。 A．3 B．2 C．?2 D．?3 ?100??110?????C?AB?123．设A??020?，B??122?，，则矩阵C?1中，第3行第2列的元素
?003??013?????是（ ）。
131A． B． C．1 D．
223
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?1?22?x?24．设矩阵A??。 ??26?，三阶矩阵B?0，且满足AB=0，则（ ）
?30?6???A．x??8，（rB）?1
C．x?8，（rB）?1
B．x??8，（rB）?2 D．x?8，（rB）?2
?1
00?
25．下列矩阵中，与对角矩阵??0
10???
002?相似的矩阵是（ ???101?10??101A．??021??1 B．?021? C??010???001??????001?．????02??0??。 ?D．?110??010????002?? ）
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2004年GCT入学资格考试数学基础能力试题
参考答案与解析
1．【答案】D
【解析】每隔40 m挖坑的数为：3 600 ?40+1=91 每隔60 m挖坑的数量为：3 600 ?60+1=61
由于40与60的最小公倍数为120，可知挖重叠的坑的数量为：3 600 ?120+1=31 因此需要重新挖坑的数量为：61?31=30 填坑的数量为：91?31=60 故选D。 2．【答案】C
【解析】设该校有女生宿舍x间，则有
?4x?20?8（x?1）?5?x ?7 ?x=6 ?
?4x?20?8x 3．【答案】C
50x?40y【解析】价格变化前成品价格为元
x?y50（1?10%）x?40（1?10%）y价格变化时成品价格可表示为元
x?y50x?40y55x?36y浮动前后成品价格保持不变 ?x?yx?y解得5x=4y，得x:y=4:5
4．【答案】B
?n?（n为偶数） ??2n?1
【解析】Sn=1?2+3?4+…+（?1）n=?n?1n?1???（?1）n（n为奇数） ??2S2 004= ?1 002
2005?12004?（?1）2005??1002?2005?1003 2因此S2004?S2005??1002?1003?1
S2 005=?5．【答案】D
【解析】设A，B相遇时所用时间为th，则A，C相遇所用时间（t+2）h， 有（70+80）t=（80+50）（t+2）?t=13h，因此甲、乙两站距离为（70+80）?13=1 950 km 6．【答案】B 【解析】
2a2+2 008a+3=0?4a2+2 008?2a+6=0 ①
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3b2+2 008b+2=0?9b2+2 008?3b+6=0
式①?②得（2a?3b）（2a+3b）+2 008（2a?3b）=0
（2a?3b）（2a+3b+2 008）=0 2a?3b=0或2a+3b+2 008=0
7．【答案】A
【解析】由图可知b?a?0，c?0，因此a+b?0，b?a?0，a?c?0 故有|a+b|?|b?a|+|a?c|+c= ?a?b+b?a?（a?c）+c= ?3a+2c 8．【答案】A
cbcbaa【解析】????1??1? ?1?
a?bb?cc?aa?bc?ab?c②
a?b?ca?b?ca?b?c??
a?ca?bb?c因a、b、c均为正数，故a+b?b+c?a+c，b?a?c 9．【答案】D
【解析】依题意可知：
112 sin??sin????222251?2（?1）?222?1cos???cos???222251?2（?1）?2
sin（???）?sin?cos??cos?sin??2 5?15
1??1?223????? ?5?5?55510．【答案】C
5【解析】3个空格相连的放法有C56=6种，又总的放法有C8?56种（由于是相同的球，
635故不是A8），故3个空格相连的概率为?。
562811．【答案】C
【解析】AF=FE=ED=CB?∠A=∠FEA，∠EFB=∠EDA，∠DCE=∠DEC，∠B=∠CDB 由三角形性质知：∠EFB=2∠A ∠EFB+∠A=∠CED?∠CED=3∠A
??∠CED=??2∠B ??2?A= 又因∠C=2，知? ∠?
???∠A+∠B=? 212．【答案】C
【解析】设AB=a，BC=b，则S=ab
由△ADE，△AHB，△EFC和△BGC都是等腰直角三角形，知
2b 2222HE?AE?AH?2b?a HG?HB?BG?a?b
222|AH|=
2a2AE?2bBG?
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2223a?a?b，即有a =b 2222又因四边形EFGH是正方形，故2b?
13．【答案】B
【解析】如右图可知A△ABC=
32A?ab?b2?b2?S
231112S22A正方形EFGH=HG=（a?b）?b2??S?
288312115ABACsin（???）?sinx 2215A△ABD=ABADsin??ysin?
2213A△ADC=ACADsin??ysin?
22A?C?DB
A△ABC=A△ABD+A△ADC?5ysin??3ysin??15sinx
在△ACD和△ABD中由余弦定理得：
①
BD?AB?AD?2ABADcos??52?y2?2?5ycos?
222DC?AC?AD?2ACADcos??32?y2?2?3ycos?
因D是BC的中线，故
5ycos??3ycos??8
222②
由式①2+②2整理得34y2?30y2cos（???）=225sin2x +64（??? =x）
（15cos x?y2）2=（17?y2）2
2y2=17?15cos x
由x?(0,?)，知1?y2?16即1?y?4 14．【答案】A
【解析】因为直线x+y=0是二、四象限角平分线，所以已知直线上的点P1（0，?1）关
11于直线x= ?y的对称点Q（1，0），点P2（，0）关于直线x+y=0的对称点R（0，?），
22yx1??1，即x?2y?1。 Q（1，0），R（0，?）所在直线方程为
112?215．【答案】B
【解析】最长的弦长是直径，OP垂直于所求直线时，弦长为最短。
最短的弦长为lmin?2152?122?18，最长的弦长lmax?2?15?30。
因此18≤l≤30，l可取13个整数，其中最小弦长和最大弦长各对应一条弦，其余11个整数每个对应两条弦，共有24条。故选B。
16．【答案】A
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