习题1
1.1选择题
?r(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径(x,y)的端点处，其速度大小为 ?drdr(A)dt (B)dt
?
dxdyd|r|
()2?()2dtdt (C)dt (D)
[答案：D]
2(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v?2m/s，瞬时加速度a??2m/s，则一秒钟后质点的速
度
(A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。
[答案：D]
(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈，在2t时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为
2?R2?R2?R,0,t (B) t (A)t2?R,00,0t(C) (D)
[答案：B]
1.2填空题
(1) 一质点，以?m?s的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大小是 ；经过的路程是 。
[答案： 10m； 5πm]
(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v0为5m·s-1，则当t为3s时，质点的速度v= 。
[答案： 23m·s-1 ]
?1???V(3) 轮船在水上以相对于水的速度V1航行，水流速度为V2，一人相对于甲板以速度3行走。如人相对于岸
???V静止，则V1、V2和3的关系是 。
???V?V2?V3?0]
[答案： 1
1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：
(1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。
解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。
1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（2）x=-4t3+3t2+6；（3）x=-2t2+8t+4；（4）x=2/t2-4/t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x单位为m，t单位为s）
解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为
v?t=3s时的速度和加速度分别为v=20m/s，a=4m/s2。因加速度为正所以是加速的。
1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零； (4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。
dx?4t?8dtd2xa?2?4dt
drdrdvdv1.6 ｜?r｜与?r 有无不同?dt和dt有无不同? dt和dt有无不同?其不同在哪里?试举例说明．
解：（1）
?r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即
?r?r2?r1，
?r?r2?r1??；
drdrds?v?dt（2）dt是速度的模，即dt. drdt只是速度在径向上的分量.
?drdrdr??r?r?（式中r?叫做单位矢），则dtdtdt ∵有r?rrdr式中dt就是速度在径向上的分量， drdr与dtdt不同如题1.6图所示. ∴
题1.6图
?dv?dvdva?dt，dt是加速度a在切向上的分量. (3)dt表示加速度的模，即
??v?v?(?表轨道节线方向单位矢），所以 ∵有
??dvdv?d????vdtdtdt
dv式中dt就是加速度的切向分量.
???d??dr?与dt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) (dt
22x?yyyxx1.7 设质点的运动方程为=(t)，=(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝，
d2rdr2然后根据v =dt及a＝dt而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
?d2x??d2y??dx??dy????????dt2?????dt2??dtdt???? 你认为两种方法哪一种正确？为什么？???? v=，a=
2222两者差别何在？
???解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r?xi?yj，
??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt
故它们的模即为
?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y222而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????
drv?dtd2ra?2dt
2drd2rdr与2dt误作速度与加速度的模。在1.6题中已说明dt不是速度的模，而只是速度在径其二，可能是将dt2?d2rd???2?dr???a径?2?r?dtdt2?????向上的分量，同样，dt也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分???。
或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及
?v速度的方向随时间的变化率对速度、加速度的贡献。
1.8 一质点在xOy平面上运动，运动方程为
式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
1x=3t+5, y=2t2+3t-4.
?12??r?(3t?5)i?(t?3t?4)j2m 解：（1）
(2)将t?1,t?2代入上式即有
???r1?8i?0.5j m r2?11i?4jm
?r?r2?r1?3i?4.5jm
r?5i?4j,r4?17i?16j(3)∵ 0
?????????rr4?r012i?20jv????3i?5jm?s?1?t4?04∴
????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)
???v?3i?7j m?s?1 则 4??????v0?3i?3j,v4?3i?7j(5)∵
?vv4?v04j???1jm?s?2?t44 ???dva??1jm?s?2dt(6)
这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
a?
1.9 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为m?s，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s,试求质点在任何坐标处的速度值．
?12?2dvdvdxdv??vdtdxdtdx 解： ∵
2vdv?adx?(2?6x)dx 分离变量：
a?两边积分得
12v?2x?2x3?c2
由题知，x?0时，
v0?10,∴c?50
3?1v?2x?x?25m?s∴
1.10 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t m?s，开始运动时，x＝5 m，v =0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置．
?2dv?4?3tdt 解：∵
分离变量，得 dv?(4?3t)dt
a?3v?4t?t2?c12积分，得
c1?0t?0v0?0由题知，
,
,∴
3v?4t?t22 故
dx3v??4t?t2dt2 又因为
3dx?(4t?t2)dt2分离变量，
1x?2t2?t3?c22积分得
c2?5t?0x0?5由题知
,
,∴
1x?2t2?t3?52故
所以t?10s时
v10?4?10?3?102?190m?s?121x10?2?102??103?5?705m2
31.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，式中?以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝
2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
?? 解：
d?d??9t2,???18tdtdt
a??R??1?18?2?36m?s?2t?2s (1)时，
(2)当加速度方向与半径成45角时，有
οan?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2
tan45??a??1an
2R??R? 即
22(9t)?18t 亦即
t3?则解得
于是角位移为
29
29??2?3t3?2?3??2.67rad
1v0t?bt2v21.12 质点沿半径为R的圆周按s＝的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长,0，b都是
常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b．
dsv??v0?btdt解：（1） dva????bdtv2(v0?bt)2an??RR
(v0?bt)4a?a??a?b?2R则
22n2加速度与半径的夹角为
??arctan(2)由题意应有
a??Rb?an(v0?bt)2
2(v0?bt)4a?b?b?R2
4(v?bt)b2?b2?02,?(v0?bt)4?0R即
vt?0b时，a?b ∴当
1.13 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为
法向加速度、切向加速度和合加速度．
?1解：当t?2s时，???t?0.2?2?0.4 rad?s
β=50.2 rad·s，求t＝2s时边缘上各点的速度、
?2则v?R??0.4?0.4?0.16m?s
?1an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2
a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2
2a?an?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102m?s?2
-1
1.14 一船以速率v1＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2＝40km·h
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少?
-1
???v?v2?v1，依题意作速度矢量图如题1.14图(a) 解：(1)大船看小艇，则有21
题1.14图
大学物理学第四版课后习题答案(赵近芳)上册
