2024几何图形的动点问题
一、选择题
1.如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
2.如图1,在矩形ABCD中,动点E从A出发,沿
,交CD于F点,设点E运动路程为x,
方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E做 ,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,
当点E在BC上运动时,FC的最大长度是 ,则矩形ABCD的面积是( )
A. .
B C.
6 D. 5
3.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函
1
数关系的是（ ）
A. ① B. ④ C. ①或
③ D. ②或④ 4.如图，平行四边形ABCD中，AB=
cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折
线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图,矩形ABCD,R是CD的中点,点M在BC边上运动,E，F分别为AM，MR的中点,则EF的长随M点的运动( )
A. 变短 B. 变长 C. 不变 D. 无法确定 二、填空题
2
6.在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为________．（结果不取近似值）
7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上 有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为________．
8.如图，在△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动
（1）连接OC，线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t＝________； （2）当△ABC的边与坐标轴平行时，t＝________。
9.如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为________
3
10.如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为（﹣2，0），半径为2，点P为直线y=﹣ x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是________
三、综合题
11.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A﹣B﹣﹣C﹣﹣E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B﹣﹣C﹣﹣E﹣﹣D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm ， （这里规定：线段是面积为0的三角形）
2
解答下列问题：
（1）当x=2s时，y=________cm；当x= s时，y=________cm ． （2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式． （3）当动点P在线段BC上运动时，求出
时x的值．
2
2
（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．
12.如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P
4
停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2 ， 求t的值；
（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．
13.如图1，点P为四边形ABCD所在平面上的点，如果∠PAD=∠PBC，则称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的横坐标为﹣6．
（1）如图2，若A、D两点的坐标分别为A（﹣6，4）、D（0，4），点P在DC边上，且点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，则点P的坐标为________；
（2）如图3，若A、D两点的坐标分别为A（﹣2，4）、D（0，4）．①若P在DC边上时，求四边形ABCD关于A、B的等角点P的坐标；
②在①的条件下，将PB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜6）得到线段P′B′，连接P′D，B′D，
5
试用含m的式子表示P′D2+B′D2 ， 并求出使P′D2+B′D2取得最小值时点P′的坐标； ③如图4，若点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，且点P坐标为（1，t），求t的值；
④以四边形ABCD的一边为边画四边形，所画的四边形与四边形ABCD有公共部分，若在所画的四边形内存在一点P，使点P分别是各相邻两顶点的等角点，且四对等角都相等，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．
14.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）△ABQ与△CAP全等吗？请说明理由；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在AB、BC的延长线上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
15.如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．
（1）点P到达终点O的运动时间是________s，此时点Q的运动距离是________cm； （2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为________cm； （3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；
6
（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y= 过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．
7
答案解析
一、选择题 1.【答案】A
【解析】 ：∵∠P=90°，PM=PN， ∴∠PMN=∠PNM=45°， 由题意得：CM=x， 分三种情况：
①当0≤x≤2时，如图1，
边CD与PM交于点E， ∵∠PMN=45°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
此时矩形ABCD与△PMN重叠部分是△EMC， ∴y=S△EMC= CM?CE=
；
故答案为：项B和D不正确；
②如图2，当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G，
∵∠N=45°，CD=2， ∴CN=CD=2， ∴CM=6﹣2=4， 即此时x=4，
当2＜x≤4时，如图3，矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD，过E作EF⊥MN于F，
8
∴EF=MF=2， ∴ED=CF=x﹣2，
∴y=S梯形EMCD= CD?（DE+CM）=
=2x﹣2；
③当4＜x≤6时，如图4，矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EH⊥MN于H，
∴EH=MH=2，DE=CH=x﹣2， ∵MN=6，CM=x， ∴CG=CN=6﹣x，
∴DF=DG=2﹣（6﹣x）=x﹣4， ∴y=S梯形EMCD﹣S△FDG=
故答案为：项A不符合题意； 故答案为：A．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠PMN=∠PNM=45°，由题意得：CM=x，分三种情况：①当0≤x≤2时，如图1，边CD与PM交于点E，△MEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的面积计算方法即可dechuy与x之间的函数关系式；y=x②如图2，当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G，根据等腰直角三角形的性质得出CN=CD=2，故CM=6﹣2=4，即此时x=4，当2＜x≤4时，如图3，矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD，过E作EF⊥MN于F，根据等腰直角三角形的性质得出EF=MF=2，ED=CF=x﹣2，故y=S梯形EMCD=2x-2;③当4＜x≤6时，如图4，矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EH⊥MN于H，EH=MH=2，DE=CH=x﹣2，CG=CN=6﹣x，DF=DG=2﹣（6﹣x）=x﹣4，由y=S梯形EMCD﹣S△FDG=- x+10x-18，根据三段函数的函数图像即可作出判断。 2.【答案】B
2
2；
﹣ = ×2×（x﹣2+x）﹣ =﹣ +10x﹣18，
9
【解析】 由图象可知AB= ，当点E在BC上时，如图：
∵∠FEC+∠AEB=90°，∠FEC+∠EFC=90°， ∴∠AEB=∠EFC， ∵∠C=∠B=90°， ∴△CFE∽△BEA， ∴
，
设BE=CE=x- ，即 ，
∴ ，
因FC 的最大长度是 ， 当
时，代入解析式，解得：
(舍去),
，
∴BE=CE=1， ∴BC=2，AB= ，
∴矩形ABCD的面积为2× =5. 故答案为：B.
【分析】根据图像获取信息解决问题。由图象可知AB=，当点E在BC上时，如图：根据同角的余角相等得出∠AEB=∠EFC，又∠C=∠B=90°，从而判断出△CFE∽△BEA，根据相似三角形对应边成比例得出CF∶BE＝CE∶AB,设BE=CE=x-,从而根据比例式得出y与x之间的函数关系，因FC 的最大长度是，把y=代入y与x之间的函数关系式，求出x的值，并检验即可求出BC的值，根据矩形的面积计算方法，即可得出答案。 3.【答案】C
【解析】 当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①， 故答案为①③.
10
故答案为：C．
【分析】由题意知PB的最短距离为0，最长距离是圆的直径；而点P从A点沿顺时针旋转和逆时针旋转后与点B的距离有区别，当点P从A点沿顺时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度增大到直径的长，然后渐次较小至点B为0，再从点B运动到点A，则弦BP的长度y由0增大到AB的长；
当点P从A点沿逆时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度减小到0，再由0增大到直径的长，最后由直径的长减小到AB的长。 4.【答案】A
【解析】 ：分三种情况讨论：
①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E．∵∠B=45°，∴△ABE是等腰直角三角形．∵AB= ∴S= BP×AE= ×t×1= t；
，∴AE=1，
②当2＜t≤ ③当
＜t≤
时，S= = ×2×1=1；
-t）×1= （
-t）．
时，S= AP×AE= ×（
故答案为：A．
【分析】根据题意分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E；②当2＜t≤ 2 +当 2 +
＜t≤ 4 +
时；③
时，分别求出S与t的函数解析式，再根据各选项作出判断，即可得出答案。
5.【答案】C
【解析】 ：∵E，F分别为AM，MR的中点, ∴EF是△ANR的中位线 ∴EF= AR
∵R是CD的中点，点M在BC边上运动 ∴AR的长度一定
11
∴EF的长度不变。
故答案为：C【分析】根据已知E，F分别为AM，MR的中点,，可证得EF是△ANR的中位线，根据中位线定理，可得出EF= AR，根据已知可得出AR是定值，因此可得出EF也是定值，可得出结果。 二、填空题 6.【答案】
π+
【解析】 ：∵Rt△ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°， ∴∠ACB=30°，BC=
，
将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，点B路径分三部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，
为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1
为半径，圆心角为120°的弧长；第三部分为△ABC的面积. ∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积 =
．
故答案为 ．
，将Rt
【分析】首先根据三角形的内角和及含30°直角三角形的边之间的关系得出∠ACB=30°，BC=
△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，点B路径分三部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心， 3 为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长；第三部分为△ABC的面积.根据扇形的面积公式及三角形的面积公式计算即可。 7.【答案】
【解析】 ：作A关于y轴的对称点A′，
则A′（－4，0），
12
∴OC是△AA′P的中位线，当A′P取最小值时，OC取最小值．连接A′B交⊙B于点P，此时A′P最小． 在Rt△OA′B中，OA′=4，OB=3， ∴A′B=5，∴A′P=5-2=3，∴OC= ， ∴OC的最小值 ． 故答案为： ．
【分析】作A关于y轴的对称点A′，可得出点A′的坐标，可证得OC是△AA′P的中位线，因此当A′P取最小值时，OC取最小值．连接A′B交⊙B于点P，此时A′P最小，再利用勾股定理求出A′B，再根据圆的半径求出A′P的长，利用三角形的中位线定理，即可求出OC的最小值 。 8.【答案】（1）（2）t＝
【解析】 （1）如图：
当 三点共线时，
取得最大值，
（ 2 ）分两种情况进行讨论：①设 ∴CA∥y轴， ∴∠CAD=∠ABO. 又
∴Rt△CAD∽Rt△ABO， ∴ 解得 ②设
即 时，
时，CA⊥OA，
13
∴CB∥x轴， Rt△BCD∽Rt△ABO， ∴
综上可知,当以点C为圆心,CA为半径的圆与坐标轴相切时,t的值为 故答案为：
或
或
即
【分析】（1）当 O , C , D 三点共线时，OC取得最大值，此时OC是线段AB的中垂线， 根据中垂线的性质，及勾股定理得出OA =OB = 4
, 然后根据时间等于路程除以速度即可得出答案；
（ 2 ）分两种情况进行讨论：①设OA = t 1 时，CA⊥OA，故CA∥y轴，然后判断出Rt△CAD∽Rt△ABO，根据相似三角形对应边成比例得出AB∶CA = AO∶CD ,从而得出答案；②设 A O = t 2 时，BC ⊥OB ，故CB∥x轴，然后判断出Rt△BCD∽Rt△ABO，根据相似三角形对应边成比例得出BC∶AB=BD∶ AO, 从而得出答案. 9.【答案】
【解析】 如图，取AB的中点E，连接OE、CE，
则BE= ×2=1，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE= ∵∠AOB=90°，点E是AB的中点， ∴OE=BE=1，
由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大， ∴OC的最大值= 故答案为：
+1．
,
+1．
【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、CE，由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大，
14
在Rt△BCE中，由勾股定理得出CE的长，在Rt△ABO中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OE的长，根据线段的和差即可得出答案。 10.【答案】
垂足为P，作
的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最
【解析】 如图，作AP⊥直线 小，
∵A的坐标为
设直线与y轴,x轴分别交于B，C， ∴ ∴ ∴ ∴ 在
与
中，
∴ ∴ ∴ 故答案为:
≌
，
【分析】如图，作AP⊥直线 y=?x+6 ， 垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，设直线与y轴,x轴分别交于B，C，根据直线与坐标轴交点的坐标特点得出B,C两点的坐标，从而得出OB,AC的长，根据勾股定理得出BC的长，从而得出AC=BC ，然后利用AAS判断出△APC≌△BOC ，根据全等三角形对应边相等得出AP=OB=6 ， 根据勾股定理得出PQ的长。 三、综合题
15
11.【答案】（1）2；9
（2）解：当5≤x≤9时（如图1）
y=
= （5+x-4）×4- ×5（x-5）- （9-x）（y= x2
-7x+
当9＜x≤13时（如图2）
y= （x-9+4）（14-x） y=- x2
+
x-35
当13＜x≤14时（如图3）
y= ×8（14-x） y=-4x+56；
（3）解：当动点P在线段BC上运动时， ∵y=
=
× （4+8）×5=8
x-4）
16
∴8= x-7x+ ∴当x=7时，y=
2
，即x-14x+49=0，解得：x1=x2=7
2
（4）解：设运动时间为x秒， 当PQ∥AC时，BP=5-x，BQ=x， 此时△BPQ∽△BAC， 故 解得x=
，即 ；
，
当PQ∥BE时，PC=9-x，QC=x-4， 此时△PCQ∽△BCE， 故 解得x=
，即 ；
，
当PQ∥BE时，EP=14-x，EQ=x-9， 此时△PEQ∽△BAE， 故 解得x=
，即 ．
、
或
．
，
综上所述x的值为：x=
【解析】【解答】（1）解：当x=2s时，AP=2，BQ=2， ∴y=
=2
当x= s时，AP=4.5，Q点在EC上 ∴y=
=9
【分析】（1）当x=2s时，得出AP=2，BQ=2，利用三角形的面积公式直接可以求出y的值，再根据x的值可得出△PAQ的高就是4，底为4.5，由三角形的面积公式可以求出其解。
（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．要分为三种不同的情况进行表示：当5≤x≤9时，当9 （3）根据已知条件求出y的值为8，再根据当5≤x≤9时y与x的函数解析式，由y=8建立方程求解即可。 （4）设运动时间为x秒，当PQ∥AC时，BP=5-x，BQ=x，根据△BPQ∽△BAC，得出对应边成比例，求出x 17 的值；当PQ∥BE时，PC=9-x，QC=x-4，证明△PCQ∽△BCE，得出对应边成比例，求出x的值；当PQ∥BE时，EP=14-x，EQ=x-9，可证得△PEQ∽△BAE，得出对应边成比例，求出x的值，从而可得出答案。 12.【答案】（1）解：证明：∵四边形 是矩形， 在 中， 分别是 的中点， （2）解：如图1，过点 作 于 ， （舍）或 秒 （3）解：四边形 为矩形时,如图所示： 18 解得： 上时，如图2， （4）解：当点 在 当点 在 上时， 时，如图4， 时，如图5， 如图3， 19 综上所述， 或 或 或 秒时， 是等腰三角形． 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得AD∥BC，∠A=∠C，根据中位线定理可证得EF∥AD，就可得出EF∥BC，可证得∠BEF=∠C，∠BFE=∠DBC，从而可证得结论。 （2）过点Q作QM⊥EF，易证QM∥BE，可证得△QMF∽△BEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据△PQF的面积为0.6cm ， 建立关于t的方程，求解即可。 （3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF， 如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。 13.【答案】（1）（0，2） （2）解：①∵∠DAP=∠CBP，∠BCP=∠ADP=90°，∴△ADP∽△BCP， ∴ = = ， 2 ∴CP=3DP，∴CP=3，DP=1， ∴P点坐标为（0，3）； ②如图3，由题意，易得 B′（m﹣6，0），P′（m，3） 由勾股定理得P′D2+B′D2=PP′2+PD2+OD2+B′C2=m2+（4﹣3）2+42+（m﹣6）2=2m2﹣12m+53， ∵2＞0 ∴P′D2+B′D2有最小值， 当m=﹣ =3时，（在0＜m＜6范围内）时，P′D2+B′D2有最小值，此时P′坐标为（3，3）； 20 ③由题意知，点P在直线x=1上，延长AD交直线x=1于M， （a）如图，当点P在线段MN上时，易证△PAM∽△PBN， ∴ 即 ， ， 解得t=2．8 (b）如图，当点P为BA的延长线与直线x=1的交点时，易证△PAM∽△PBN， ∴ ，即 ，解得t=7， 综上可得，t=2．8或t=7； ④因满足题设条件的四边形是正方形， 故所求P的坐标为（﹣1，3），（﹣2，2），（﹣3，3），（﹣2，0）． 【解析】【解答】解：（1）由B点坐标（﹣6，0），A点坐标（﹣6，4）、D点坐标（0，4），可以得出四边形ABCD为矩形，∵P在CD边上，且∠PAD=∠PBC，∠ADP=∠BCP，BC=AD； ∴△ADP≌△BCP，∴CP=DP， ∴P点坐标为（0，2）； 【分析】（1）先求得正方形ABCD各顶点的坐标，再由点P的位置及等角点的定义证得△ADP≌△BCP，即证得CP=DP，从而求得点P的坐标；（2）①通过证△ADP∽△BCP，即可得到对应线段的比例，即可求得点P的坐标；②先根据平移的性质可设出点B′，P′的坐标，再通过勾股定理用含m的式子表示P′D2+B′D2 ， 再利用二次函数的图像特征可知P′D2+B′D2有最小值，同时可求得此时m的值，进而求得点P的值；③先确定AP，BP所在三角形，并证明这两个三角形相似，利用相应的线段比求得t值即可；④先根据题意判断满足条件的四边形的形状，即可确定点P的坐标. 14.【答案】（1）解：全等， 理由如下： ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA， 21 又∵点P、Q运动速度相同， ∴AP=BQ， 在△ABQ与△CAP中， ∵ ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS） （2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变． 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ=∠ACP， ∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60° （3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ=∠ACP， ∵∠QMC=∠BAQ+∠APM， ∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°． 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得出∠ABQ=∠CAP，AB=CA，再根据点P、Q运动速度相同，得出AP=BQ，然后利用SAS可证得结论。 （2）根据全等三角形的性质可得出∠BAQ=∠ACP，再根据三角形外角的性质及等量代换，可证得结论。 （3）点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变，先根据已知证明△ABQ≌△CAP，得出∠BAQ=∠ACP，再根据三角形的外角性质，可求出∠QMC的度数。 15.【答案】（1）（2） ； （3）解：设运动时间为t秒时， 由运动知，AP=3t，CQ=2t， 同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t， ∵点P和点Q之间的距离是10cm， ∴62+（16﹣5t）2=100， ∴t= 或t= （4）解：k的值是不会变化， 22 理由：∵四边形AOCB是矩形， ∴OC=AB=6，OA=16， ∴C（6，0），A（0，16）， ∴直线AC的解析式为y=﹣ x+16①， 设运动时间为t， ∴AP=3t，CQ=2t， ∴OP=16﹣3t， ∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t）， ∴PQ解析式为y= x+16﹣3t②， 联立①②解得，x= ，y= ， ∴D（ ， ）， ∴k= × = 是定值 【解析】【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形， ∴OA=BC=16， ∵动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动， ∴t= ，此时，点Q的运动距离是 ×2= cm；（ 2 ）如图1， 由运动知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm， 过点P作PE⊥BC于E，过点Q作QF⊥OA于F， ∴四边形APEB是矩形， ∴PE=AB=6，BE=6， ∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6， 根据勾股定理得，PQ=6 ； 23 【分析】（1）根据矩形的性质得出OA=BC=16，根据时间等于路程除以速度得出点P到达终点O的运动时间；再根据路程等于速度乘以时间得出点Q的运动距离； （2）由运动知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm，过点P作PE⊥BC于E，过点Q作QF⊥OA于F，可以判定四边形APEB是矩形，根据矩形的对边相等得出PE=AB=6，BE=6，根据线段的和差得出EQ的长，根据勾股定理即可得出PQ的长； （3）设运动时间为t秒时，点P和点Q之间的距离是10cm；由运动知，AP=3t，CQ=2t，同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t，根据勾股定理及点P和点Q之间的距离是10cm，列出方程，求解即可得出t的值； （4）k的值是不会变化，根据矩形的性质得出OC=AB=6，OA=16，从而得出C,A两点的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣ x+16①，设运动时间为t，故AP=3t，CQ=2t，OP=16﹣3t，从而得出 ②，联立①②解得D点的坐标，根 P,Q两点的坐标，利用待定系数法求出PQ解析式为y=据双曲线上点的坐标特点得出k是定值。 24
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