铁路大提速下的弯道设计

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摘要

问题一中，从弯道转弯半径，外侧轨道超高，转弯处轨道宽度变化，弯道末端与直道之间的缓冲过渡，相邻弯道之间的夹直线长度与钢轨自身的强度等几个方面进行分析，将弯道设计与安全运行联系起来。

问题二中，从四个方面对弯道的性质进行描述：①弯道弧顶②缓冲轨道③夹直线④转弯处轨道加宽。分别建立了弯道弧顶模型，缓冲轨道模型与夹直线模型。

弯道弧顶模型：

通过力学分析，把通过弯道的速度v，轨道超高h，曲率半径R联系起来：

v2*sh?，并通过v?g*R?Nmv?Nmkkk2k计算平均速度。

k缓冲轨道模型：

在本模型中，通过对外轨超高h与轨道中轴线曲率半径R的描述来确定缓冲轨道。 根据对缓冲轨道目的的研究，决定采用三角曲线来近似外轨超高h，使火车在直道与缓冲轨道、缓冲轨道与弯道弧顶时刻的h?h0sin2(dh值为零。从而可以得到：dt?2l0v0t)与R=R01sin2(?v02l0l0为（h0与R0为弯道弧顶的超高与曲率半径，t)缓冲轨道长度）

夹直线模型：

夹直线是为了衰减火车驶离弯道时的振动。模型认为火车的振动表现为垂直铁轨的

横向速度，衰减是因为车轮与车轨的横向非弹性碰撞。经计算，衰减时间为

t总?(?s/v1)?(1/en?1)*(1?en)/(1?e)，因此夹直线的长度为s总?v0?t总

问题三中，根据对于弯道性质参数（驾乘人员感受到的外侧离心加速度a?）的限定，通过建立的模型，提出弯道限速方程：v2?5.2*R?v?v2?5.2*R，（R是该弯道的最小

曲率半径，v是通过加权平均算得的平均速度）该方程以“货车通过”原则来求解。

所谓的“货车通过原则”为：在铁路行驶中，货车比客车慢。一个弯道必然要使各种车辆的速度都落在

?v2?5.2*R,v2?5.2*R?区间内，2因此要使：v?5.2*R?vh（vh????是货车速度）；在模型的具体实施中，采用vh=50km/h来处理。

通过上面的限速方程，分别对I、II、III级铁路的不同路况进行了分类，并通过区间

上限来推断该段铁路继续提速是否可行。

关键字

货车通过原则

克里奥利力 外轨超高

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一、问题重述

时代在进步，铁路要提速！我国铁路已经从十年前的最高时速60公里/小时至80公里/小时提高到160公里/小时至200公里/小时。然而在提高速度的同时，相关的硬件设施要进行适当的调整，从而确保列车的安全运行。铁路弯道的设计是保证列车高速安全运行的关键问题之一。一般认为影响列车在弯道上运行的因素主要有:

1. 弯道的弯曲程度；

2. 倾斜度（即内地外高的倾斜度）； 3. 列车的行驶速度； 4. 列车的重量。

表1.1所示，影响列车运行四要素的约束条件。

表1.1 影响列车运行的四要素 轨道弯曲程度 曲率半径 〉= 350米 倾斜度 列车速度 客车 货车 160~200 km/h 60~80 km/h 列车重量 客车 货车 自重 15~17吨 载重 10 吨 自重 22 吨 载重 60 吨 中国大地幅员辽落，地形复杂多变，因此，铁路平面设计的标准很难统一规定，可以在指定的范围内因地制宜适当采用。即Ⅰ、Ⅱ及铁路的标准可以较高，三级铁路较低。具体情况如表1.2所示：

表1.2

要研究的问题是：

(1) 请你分析研究与弯道设计和列车安全运行有关的因素之间的关系。

(2) 如果客货车的重量一定，按我国铁路目前的这种客货列车混合运行的模式，要保证货车时速在60~80公里/小时，客车时速在160~200公里/小时运行，则应该如何来设计弯道（即弯曲度和倾斜度如何），才能保证列车的安全运行？

(3) 按照你的设计方案，对列车的最低允许速度、最高允许速度和相应的可靠性，以及进一步提速的可行性进行讨论。

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二、模型的假设与假设的说明

1.火车行驶在平坦的区域：

为简化模型，利于分析，本报告中均假设货车行驶在平坦的地方，不考虑货车爬坡转弯，下坡转弯的特殊情况。 2.钢轨为刚性无限长梁：

一条铁路的长度是用千米来描述的，而压力使钢轨产生的横向形变是以毫米来描述的。这两者之间的数量级差6位左右，完全可以忽略钢轨的形变。并且忽略钢轨之间的空隙。因此可以将铁轨看成是刚性的无限长梁。 3.火车匀速过弯：

一列火车的长度为几千米，而弯道的长度不过几百米，因此在过弯时，火车必然有一大部分仍然在直道中，保持着某个恒定的速度v。考虑到火车的长短必然不会放生变化，因此列车上的各点切向速度应该是一致的。所以假设货车是在匀速过弯的。 4.车厢同侧车轮最大距离远小于曲率半径 车厢同侧车轮最大距离不超过20m，而曲率半径通常在千米的数量级，最小也有350m，所以假设成立。

5.在夹直线上不计火车与轨道的横向摩擦

由于火车车轮与车轨都非常光滑，且接触面积很小，所以摩擦作用比较细微，相对于车轮横向运动与车轨非弹性碰撞的影响可以忽略不计。

三、符号说明

a?： 乘客在车厢内感受到的离心加速度

b： 车厢重心距离铁轨的高度

h0： 弯道弧顶上的外轨超高

h： 缓冲轨道上的外轨超高

s0： 直道上的两轨距离

s： 弯道上某点的两轨距离 θ： 轨道平面与水平面的夹角 D： 车厢长度

R0： 弯道弧顶的曲率半径

R：

缓冲轨道上的曲率半径

v： 某弯道的平均通过速率v（经过加权平均计算） v0： 某缓冲轨道的入弯速度

vh：

vk：

货车速度 客车速度

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l0: 缓冲轨道的长度

l: 某点与缓冲轨道入口处的轨道长度

四、模型求解

问题一：分析研究弯道设计和列车安全运行的有关因素之间的关系。

为了满足火车提速的要求，弯道必须要根据车厢的各个因素（如速度、质量、重心高度）而进行调整。

根据轨道的特性，可以把钢轨看成是一个无限长的连续弹性梁，主要承受来自机车车辆的集中垂直压力，在其断面上产生一定的弯矩。钢轨由于其断面抗弯曲强度不足而损坏的事例较少。钢轨更换的主要原因为磨耗和疲劳伤损。这种损伤表现在弯道主要为：外股钢轨的侧面磨耗，内股钢轨的头部压溃和波形磨耗，在小半径曲线上表现得更为严重。钢轨疲劳伤损的主要表现是核伤。它起源于轨头内部存在的细小裂纹。随着机车车辆通过时轨头内部出现极为复杂的应力组合，使这一细小裂纹先是成核，然后再向轨头四周发展，最后则在无预兆下猝然折断，引起后果十分严重的行车事故。因此，如何降低磨损成为了弯道设计重点。

减少曲线钢轨磨耗的主要措施在于改进机车车辆转向架的设计，借以改善轮轨间的相互作用条件，减少彼此间的摩擦。作为治标措施，可采用曲线钢轨侧面涂油或在小半径曲线上铺设耐磨性能高的特种合金钢轨。防止核伤的最有效方法是对钢料进行控制性冷却，避免钢轨内部因氢气逸出而产生的细小裂纹，从而根本消灭了产生核伤的疲劳源。

但是，尽管采取各种预防措施，钢轨核伤仍无法绝对避免。如何让磨损的危害降低成了轨道设计的目标，通过对曲线地段轨道几何形位的合理改进，可以使得磨损型危害最低的方向进行，下面提出若干措施： 1. 弯道圆曲率半径：

曲线半径的大小是影响工程费和运营条件的基本因素。曲线对于铁路运营的不利影响主要在于产生曲线阻力、影响或限制行车速度和加速轨道磨损，尤其是小曲率半径曲线，这些影响更突出：小半径曲线往往引起车轮和钢轨的磨耗。列车通过曲线时，由于车轮在钢轨上的纵向滑动和横向挤压，增加了车轮和钢轨的相互磨损，半径愈小磨损愈大。而且小的曲率半径会加大外轨的压力，造成内外轨磨损差异外轨形变，成为安全隐患。根据中国现用机车实测资料统计，半径在600米以下时,磨损明显加大；半径小于400米时，磨耗急剧增加。总之,在条件许可时,曲线半径应尽量用得大些。然而,自然条件往往是错综复杂的，在特定的地形中，小半径曲线不可能完全避免。当小曲率半径不可避免时，必须依靠外侧轨道增设超高来平衡离心力，这也就是第二个因素。 2. 弯道中外侧轨道增设超高：

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mv2/R

图4.1

如图4.1所示，机车在转弯。若以大地为参考系，车厢受到一个水平向右的非惯性力，大小为mv/R(m为车厢质量，v为车厢运行速度，R为轨道的曲率半径)。可以看出，弯道里的双轨如果同高的话，不仅会使外道受到较大的磨损，还有可能发生车厢向外侧翻转的严重事故。

如果对外轨的高度进行一定的调整，尽量使车厢对钢轨的合力垂直于两轨所在平面，就会大大改善行驶状况。

这样做一来可以使两轨的磨损程度近似相同，增长钢轨的使用寿命，降低危险发生的可能；二来可以使乘坐更加舒适，不会让驾乘人员因感到过大的侧向加速度，而产生不适。国家规定，侧向加速度amax0.40～0.60(米/秒2)。 因此，将弯道上的外轨设置超高就显得十分的必要。 3. 在弯道处的轨道进行适当加宽：

2

图4.2

图4.2中显示了，当机车进入弯道时，对轨道宽度s有了新的要求。下面大致分成三种情况进行描述：

1. 当轨距足够宽时，只有前轴外轮的轮缘受到外轨的挤压力（称导向力），后轴则居于曲线半径方向，两侧轮缘与钢轨间都有一定的间隙，行车阻力最小;

2. 第二种情况是当轨距不够宽时,后轴（或其他一轴）的内轮轮缘也将受到内轨的挤压（图二），产生了第二导向力，行车阻力较前者增加；

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3. 当轨距更小时,不但中间某轴内轮受内轨挤压，而且后轴外轮也受到外轨挤压，车轮被楔住在两轨之间,不仅行车阻力大,甚至可能把轨道挤开。

因此小半径曲线上轨距必须加宽。确定轨距加宽的原则是：①保证最常用的车辆转向架能以第一种情况自由通过曲线；②保证轴距较长的多轴机车能以第二种情况通过，而不致出现第三种情况。

4. 弯道两端与直道之间设置缓冲轨道：

如果在弯道与直道之间仅由圆曲线和直线直接相连，那么当火车刚刚进入弯道时，曲率半径瞬间由∞变为R。在上文中讨论过曲率半径与外轨超高之间的关系，当曲率半径为R时有相应的外轨超高H和增宽轨距S与之对应，然而轨道在一般情况下都是平滑的，所以外轨超高与轨道增宽并不能像曲率半径一样突变。这使得火车在刚入弯道时候十分容易产生脱轨事故。

实践证明，如果没有缓冲轨道，曲直紧接的线路经常在平面上走动，很难稳定，这就给线路维修工作带来许多麻烦。如果在直线和圆曲线之间插入一段过渡性的曲线将会大大提高铁路性能。

缓冲带一般设于圆曲线与直线相接处，使圆曲线的轨距加宽及外轨超高，可以在缓冲轨道范围内逐渐完成。缓冲轨道的曲率是渐变的，从零变至与圆曲线曲率相同；超高也是渐变的，因而列车由直线进入曲线时，车体所受的离心力与向心力也是渐变的。从而完成了由直入弯，由弯入直的逐渐过渡。

5. 两个弯道之间的夹直线设计：

在火车驶离弯道时，由前面一段曲线所产生的振动仍然存在，如果马上进入另一个弯道，就会产生更大的震动，不仅会影响乘坐的舒适度，在一定程度上也影响了行车安全。因此在两个相邻的弯道之间插入一定长度的直道，可以使列车在通过前一段曲线所产生的振动到达后一曲线时削减完毕。如果行车速度越快，那么振动就越剧烈，因此夹直线也就应该越长。

图4.3

此外，铁轨的形状与强度也在一定程度上影响着弯道的性质。如图4.3所示的铁轨形状，车轮轮箍和钢轨接触的面为1/40的圆锥面。为了使车轮压力的合力线更接近于钢轨中轴线，以减小偏磨,钢轨不是竖直铺设,而是略向轨道中心倾斜。这种倾斜度称轨底坡，可以减小火车振动对钢轨侧向的挤压，防止钢轨变形。

问题二：如果客货车的重量一定，按我国铁路目前的这种客货列车混合运行的模式，要保

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证货车时速在60~80公里/小时，客车时速在160~200公里/小时运行，则应该如何来设计弯道（即弯曲度和倾斜度如何），才能保证列车的安全运行？

入弯处共分三种模型： ⅰ)弯道弧顶模型； ⅱ)缓冲轨道模型； ⅲ)夹直线模型。 iv）轨道加宽模型

模型一：弯道弧顶模型：

设两边车轮受到的支持力分别为N1和N2，在列车行进的参照系中，受到的惯性离心力为：

mv2f?

R(4.1)

为提高铁轨的使用寿命，两边铁轨受到的垂直损耗应相等，即：

N1?N2

(4.2)

在与铁轨垂直的方向上受力平衡，有：

11mv2N?N1?N2?mgcos??sin?

22R由于θ为小角，故 sin???,cos??1;

(4.3)

故上式即为：

11mv2N?N1?N2?mg??

22R(4.4)

其中m为火车车厢的质量。

以左边车轮与铁轨的接触点为转轴，有力矩平衡方程：

smv2smg(?b*?)cos??(b?*?)?N*s

2R2其中b为火车重心距离铁轨的垂直距离。

解(4.4),( 4.5)两式，得：

(4.5)

v2*sh?

g*R(4.6)

对于中国铁路，铁轨宽度为1435mm, 若v的单位取km/h, h的单位取mm, R的单位取m,则(4.3)式可写成：

v2h?11.3*

R (4.7)

由于铁轨上列车的速度和重量等等各不相同，因此每种列车通过某段弯道速度各不相同，设为vi；为了使铁轨两边的磨损均匀，应对各种速度值取加权平均值.由(4.3)式

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可知，倾斜度一定的情况下，铁轨受到的正压力与速度的平方成正相关。 即： N?v,N?m

2(4.8)

由此可计算某弯道的平均通过速率v如下：

2v*?Nkmk??Nkmkvk

k?1k?12nn (4.9)

即是：

v??Nmv?Nmkkk2k (4.10)

k其中mk为列车的重量；

Nk为列车出一个周期时间内（如每星期）在铁轨上某一

弯道经过的次数。

以上是按照铁轨两边受磨损相等来设计铁轨的，若考虑到乘客的舒适度，再讨论如下：(4.7)式即为：

v h?11.3*R2 (4.11)

乘客在车厢内感受到的离心加速度为：

v2v2ha???g*???g*

RRs即将常数代入上式，得：

(4.12)

v2ha???

13*R153由于中国铁路规定，

(4.13)

在山区的铁路，amax?0.6m/s

22(4.14)

(4.15)

在平原地区， amax?0.4-0.5m/s

(4.11)式中v的只应根据官方的数据决定，为方便后面的讨论，现假定：

一般地区v=140km/h；vmin?100km/h;vmax?200km/h 困难地区v=100km/h; vmin?60km/h;vmax?140km/h 代入(4.11)式中，可得：

221480(mm) R113000困难地区： h?(mm)

R一般地区： h?铁路大提速下的弯道设计

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所以 一般地区：

v1517??0.5

13*RR22(4.16)

v774困难地区： ??0.6

13*RR已知货车的速度为60-80km/h, 客车的速度为160-180km/h, 代入(4.16)式可以算出：

一般地区： R?3120m, 相应的：h?71mm 困难地区： R?1200m, 相应的： h?94mm

模型二：缓冲轨道模型：（此模型中各项变量均为国际通用单位）

缓冲轨道的目的主要有：①消除列车由直线进入圆曲线时，由于车体转向架和挂钩之间相互位置的突然变更而引起的冲动；②消除列车由水平轨道变为倾斜轨道所引起的突然反应。所以缓冲轨道的作用，在于使转向架、弹簧、挂钩以及车体从直线运行时的位置，逐渐地转到循着圆曲线弯道运行时的位置。

缓冲轨道必须有足够的长度才能发挥作用。决定的因素有三:①超高顺坡不宜过陡,以保证行车安全。按中国铁路的设计标准,不得大于2‰。②外轮的提升速度不宜过快，以保证旅客的舒适。在中国铁路干线上其标准为32毫米／秒。③欠超高（未被平衡的超高）的增长率不宜过大。严格控制未被平衡的离心加速度的时变率，这对于旅客舒适是

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更为重要的。根据理论分析和实验观察,旅客可以接受的时变率约为0.3～0.4米/秒

由题可知，国内铁路缓冲曲线的最大长度不能超过300m（150*2），这远远小于一列火车的长度。因此可以知道火车在过弯的时候，必然有一大部分车体在直道上。考虑到火车上各点的切向速度相同，我们假设当火车在通过弯道的时候，仍然保持着入弯时的速度。

a?

mv02/R

图4.4 注：以下讨论均针对于入弯时的缓冲轨道。

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如图4.4所示，当火车以速度v0进入缓冲轨道时，若要使之在缓冲轨道上的任意一点都能够满足不对轨道切向进行压迫，则该点的轨道增高h、轨道宽度s与曲率半径R应满足下式：

v2/Rh???

gsv2*s ?h?R*g(4.17)

检验(4.17)式：资料显示，实际设置超高时，取其整数到5mm,最大超高为150mm；单线上下行速度悬殊时不超过125mm。

将模型一种算得的I、II、III型铁路速度限制带入(4.17)式中，满足我国铁路对外轨超高的规定。

对(4.17)式两端关于时间t求导：

2dhv01dssdR?*(?) dtRRdtR2dt1dsdsd(lns)其中:Rdt?s?

sdRdRd(lnR)R2dtR(4.18)

由于轨道宽度ds是毫米数量级，而R的变化是从∞到R0，因此，(4.18)式=0。

dhv2*sdR??* (4.19) dtg*R2dth是描述外轨离地面高度的函数，R是描述轨道中轴线平面走向的函数，一般情况下，轨道宽度s为1.435米，而曲率半径R为数百米，远远大于s。因此可以近似认为内、外轨道关于地面的轨迹与铁轨中轴线相等。综上所述，通过h与R两个函数即可完整的描述缓冲轨道。

不妨设缓冲轨道的长度为l0，则火车通过这段缓冲轨道的时间为t0?l0。根据缓冲v0轨道的目的可以看出，

dh在0时刻与t0时刻的值均应为零，因此用三角曲线来建立h模dt型。

入弯的缓冲轨道：

h?h0ht?(1?cos())?0(1?cos(v0t))22t02l0?h0sin2(?2l0 （t??0,t0?） (4.20)

v0t)铁路大提速下的弯道设计

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=h0sin(2?2l0l)

(4.21)

式(4.21)中，l为该点与缓冲轨道入口处的轨道长度。 将式(4.20)微分

3?v0s0dh?h0v0????sin(v0t)?sin(v0t) (4.22)

dt2l0l02R0gl0l0资料中显示：

dh?32*10?3m/s dt31000?v0h01000?v0s0 (4.23) ?l0??6464R0g检验l0公式：

利用问题一中得到的关于的I、II、III型铁路速度限制带入(4.23)式中，满足我国

铁路对缓冲轨道长度的规定。

由(4.17)式得

2v01R?s0

gh

图四

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?R?1sin2(2v0s0gh0sin2(?R0?2l0v0t) (4.24)

?v02l0t)

图4.5

如图4.5中所示，t从零时刻到t0，R由∞变为R0，满足建立缓冲轨道的目标。 缓冲轨道中外轨超高是针对各种列车的平均参数设定的，不可能是每一辆车厢都达

到理想状况。如果在缓冲轨道中不能满足理想状况的话，乘车人必然会感觉到一个外侧的离心加速度a?，如图一中它的方向是平行于车厢底指向轨道外端。

v2a??cos??gsin?Rv2?2 (4.25) ?(1?)?g?R2v2h2h?(1?2)?gR2ss

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dav2h2dRv2hdhgdhds（近似看为0） ??2(1?2)?2?dtdtR2s0dtRs0dts0dt经过计算整理，可以得出：

dav2dRdh??0.99692?6.5359dtRdtdt?v (4.26) ?v0cos(0t)32l0?vs?v?v?0.9969v2?6.5359200sin(0t)cos(0t)?vR0l0g2l02l0R0l0sin3(0t)2l0当v较大时，乘客会感觉到向外的加速度越来越大；反之则越来越小。

利用问题一中得到的关于的I、II、III型铁路速度限制带入(4.26)式中，满足我国铁路对乘客感受到的a?规定（

在实际计算当中，v0是通过具体数据进行加权平均而进行的，具体方法如下：

da??0.3m/s3）。 dtv0??Nkmkvk?Nkmk2

其中，Nk是在一个周期段之内，通过此弯道的质量为mk，速度为vk的列车像的数

量；为了使结果更加精准，研究对象为每一节车厢。

以上是对列车进入弯道时的缓冲轨道进行的分析。由于火车进、出弯道是一个相逆的过程，所以无需对出弯道缓冲轨道另外进行分析，完全可以通过一致的模型对出弯缓冲轨道进行描述。

模型三：夹直线模型

由前面叙述可知，在火车驶离弯道时，由前面一段曲线所产生的振动仍然存在，如果马上进入另一个弯道，就会产生更大的震动，不仅会影响乘坐的舒适度，在一定程度上也影响了行车安全。因此在两个相邻的弯道之间插入一顶长度的直道，可以使列车在通过前一段曲线所产生的振动到达后一曲线时削减完毕，这段直道即夹直线。

火车的振动主要表现为在车轨垂直方向上的速度v1，这个速度使得火车在沿轨道运动的同时会在横向有一运动。因为车轮卡在两轨之间，所以这种运动是一种往复运动。由于车轮与车轨之间会发生碰撞，且这种碰撞不是完全弹性的，所以横向速度v1会逐渐减小。需要注意的是在车轮与车轨之间还有磨擦，但考虑到磨擦对横向速度的影响要比碰撞的影响小很多，所以在模型的计算中忽略磨擦。

设驶离弯段时由于车轨曲率半径突变、车轨中接触处的不完全平、超高突变等种种原因具有横向速度v1，方向由外轨指向内轨。需要说明，车轨缓冲曲线的设计本身不会产生曲率半径和超高的突变，但是铁路的实际铺设中，这些突变是难以避免的。

设夹直线长度s夹，火车沿轨道速度v由于火车车轨比车轮稍宽，假设火车横向最大

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可动距离?S；车轮与车轨碰撞的恢复系数为e。第n?1次离开车轨的横向速度为vn?1，那么第n次离开车轨的速度为vn，则有

vn?vn?1*e (4.27)

简单的第推即可得

n?1vnv1e =* (4.28)

第n次离开车轨到将第n?1次离开车轨，经历时间 tn=?S/vn (4.29)

那么从第1次离开车轨到将第n?1次离开车轨经历总时间

t??tn???s/vn （4.30)

i?1i?1nn将(4.28)代入

n?1t??s/(v1*e) ?

i?1nn?1?(?s/v1)??1/e

i?1nn?1n?(?s/v1)?(1/e)*(1?e)/(1?e) (4.31)

根据实际情况，当n=8，

?s?0.01m， v1?1.5m/s， e?0.5

vn=0.781%v1=0.0117m/s

这个值已经远小于初始v1，而且对于火车来说，就是在直线上行驶也会有扰动，比如

说车轨中间的结合处的平整不完全，这些扰动给火车带来的震动也会有这个数量级。所以可以近似认为这是由于弯段带来的大振动已经衰减完毕，那么总的时间 总t?tn?8 (4.32)

1.7s (4.33)

t将n?8及各数值代入(4.31)式，得到 总?t这个值在近似的时候采用取大原则，即保证在该时间内振动衰减程度尽可能的小 那么夹直线的长度就应该是在总时间内火车沿轨道运行的距离，即 夹s?1.7v （v 以m/s为单位，s夹以m为单位） (4.34)

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夹s?v/2 （v 以km/s为单位，s夹以m为单位） (4.35)

夹直线的方向沿缓冲曲线末端的切线方向，大小由(4.34)、(4.35)两式决定（任选其一）。 最后说明：夹直线的长度是越长越好，但受实际情况约束，如地貌地形、施工条件、整体费用，通常夹直线只能取满足要求的较小值。本模型描述的就是该种情况。

模型四：轨道加宽模型

图4.6

图4.6中显示，车进入弯道时，对轨道宽度s有新的要求，前面已经叙述。如果宽度不够，就会造成阻力过大、磨损严重、轨道变形等安全问题。

加宽原因如下：轨道的弯曲使外轨与外侧车轮之间出现间隙，有车轮之间处处平行，由此内侧车轮将在内轨的外侧，所以内轨需要在原有基础上向曲率中心加宽。

首先易知曲率半径越小加宽宽度越大（如直轨曲率半径无穷大无需加宽）。又轨道的曲率半径是逐渐变小的，从直轨到缓冲轨道到圆弯道轨道。那么，最大加宽宽度出现在圆弯道轨道，设其为?s

图4.7

如图4.7：弧AB表示外轨，AB表示外侧车轮。轨道需要加宽宽度即CD的长度，设AB长度为D，?s为CD长度，可以推出 ?s?R0?考虑到 D??R，因为实际车厢的长度远小于曲率半径

R02D2 ?4D2上式化简为 ?s0? (4.36)

8R0有上述分析可知，加宽宽度的变化与曲率变化是一致的，在缓冲轨道，曲率半径

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?R?R01sin2(?v02l0

t)所以曲率变化率为sin(2?2l0l)，所以可直接采用该变化率作为加宽宽度的变化率，那么在

D2?缓冲轨道上， ?s?sin2(l)

8R02l0 (4.37)

D2综上，轨道加宽为： 圆轨道 ?s0?

8R0D2? 缓冲轨道 ?s?sin2(l)

8R02l0

问题三： 按照你的设计方案，对列车的最低允许速度、最高允许速度和相应的可靠性，

以及进一步提速的可行性进行讨论。

我国在1975年公布的针对铁路线路平面设计标准中，分别对I、II、III 型铁路的

曲线半径，缓冲轨道长度，夹直线长度进行了限制（具体数据见问题重述）。

列车通过曲线时产生离心力,为平衡这种离心力,在曲线轨道上设置超高。超高有一定的限度，当离心力过大，超高不能平衡时,就必须限制速度。由于超高是固定设置的,而通过曲线的各种列车速度是不同的,其离心加速度各不相同;对速度较高的旅客列车,势必产生未被平衡的离心加速度,它影响列车运行的安全和旅客的舒适度。

在问题二中的弯道模型中说明了中国铁路对乘客在车厢内感受到的离心加速度a?的限制“在山区的铁路，amax?0.6m/s；在平原地区，amax?0.4-0.5m/s)”。

根据弯道模型中的⑾、⒀式，可以得出下式：

22v2hv2v1a??????v2?v2

13*R15313*R13*R13*R2122?v?v?0.413*R?v2?5.2*R?v?v2?5.2*R

客车速度较快，火车速度较慢。考虑到货车于客车通过同一个弯道，则采取

v2?5.2*R?vh（vh为货车速度）的原则，如vk（客车速度）不满足条件则

采取客车降速。

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根据上述原则，经过计算后得出下表，该表分别对I、II、III级铁路进行了分类，得出其中的不同情况的速度约束：

表4.1 铁路 等级 最大 最小 一般情况 I II III 0 Km/h 0 200 以上 50 0 Km/h 200 以上 50 Km/h 90 50 Km/h 200 以上 50 Km/h 100 50 Km/h 70 Km/h 100 50 Km/h 70 困难情况 Km/h 80

从表4.1中数据可以看出，对于货车而言，除困难情况外，在I、II、III级铁路上均有速度提升的空间。

对于客车，如要提速到200km/h以上，需使：

200?v2?5.2*R 且 50?v?5.2*R 2?R?3606m

由上面计算可以知道，当弯道的曲率半径大于3.6km时，客车有提升速度的空间。

五、模型的检验和修整

改进一：对于弯道弧顶模型的分析与修正：

一．由于地球是一个非惯性系，火车在实际运行过程中，会受到科里奥利力的作用：

F??2m??v

?为地球的自转角速度，

其中

v为火车的速度。

根据右手螺旋定则可判断里的方向总是指向运动方向的右侧。因此在水平状态右侧铁轨会受

?5到这个额外的压力。地球的自转角速度??7.29?10rad/s, 设火车的速度为v=150km/s,

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可以算得科里奥利加速度为

a’?0.006 m/s

若通过抬高火车右侧铁轨可以用重力的分力平衡掉科里奥利力，由前一部分模型的分析可得，需抬高的高度为：

?h?a'*s?0.88mm g这样在铁路的铺设中右侧铁轨都应该比左侧高?h，在弯道处同样如此，即

h'?h??h

然而?h与铁轨铺设中的误差相比已可以忽略不计了，因此在考虑弯道设计时也没有考虑科里奥利力的影响。

改进二．在火车的行进过程中，会受到滚动摩擦力。数据显示，火车与铁轨的滚动摩擦系数为??(0.03,0.09)，倒数第k节车厢受到的前面或车厢的拉力为：

fk?k*?mg

其中m为单节车厢的重量。

在弯道处f的法向分量会提供一部分向心力。对于倒数第k节车厢，

fn??mg(k?k?1)*D 2*R其中D为单节车厢的长度，R为曲率半径。若取??0.05,R?2000m,D?25m，k=5, 可算得：

fn?0.0028mg,

设弯道处的超高h=100mm,则fn与弯道处重力的分量相比

fn0.0028mg0.0028mg???0.04

hGnmg*?mg*s可以忽略不计。因此在弯道处也可以忽略滚动摩擦力对于超高的影响。

改进三：对缓冲轨道的优化：

缓冲轨道的作用是：①消除列车由直线进入圆曲线时，由于车体转向架和挂钩之间相互位置的突然变更而引起的冲动；②消除列车由水平轨道变为倾斜轨道所引起的突然反应。所以缓冲轨道的作用，在于使转向架、弹簧、挂钩以及车体从直线运行时的位置，逐渐地转到循着圆曲线弯道运行时的位置。

它是一个渐变的曲线，随着列车的行进，缓冲轨道的：①外轨超高h②曲率半径R③轨道宽度s 均进行连续的变化。

对于问题二中的缓冲轨道模型，仅仅对于①外轨超高h②曲率半径R进行了讨论，并没有考虑到③轨道宽度s的渐变，因此这个模型还需要改进。

下面仍然以入弯缓冲轨道为研究对象。对于一个特定的弯道，可应通过问题二中的

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D2D2模型算出弯道弧顶需要的加宽?s0?。可知轨道的宽度s是由0渐变到，且：

8R08R0?vD2?s?sin2(0t)

8R02l0

考虑到缓冲轨道中可能出现未知情况，并根据R的渐变规律，决定在?s中用指数函

数调整：

D2??s?sin(l)*(e8R02l02ln2ll0?1)

这样可以得到更好的入弯效果，出弯缓冲轨道同理如上。

六、方法和结果的评价

在问题二中的缓冲带模型，利用了三角曲线的斜率性质，以其作为外轨超高变化的描述模型。并根据力学性质，推导出轨道中轴线在平面上的走向，是以轨道的曲率半径R来描述的。

从网上公布的资料来看，本模型可以较好的满足国家规定的标准：

31000?v0h01000?v0s0l0的长度有不同的限制。对应不同等级的铁路，模型结论l0??6464R0g满足条件。

我国对于外轨超高的要求有：“外轮的提升速度不宜过快，以保证旅客的舒适。在中国铁路干线上其标准为32毫米／秒。最大超高不可超过150mm。”模型结论

33?v0s0?v0s0dh?h0v0???sin(v0t)?sin(v0t)??32mm/s满足条件。 dt2l0l02R0gl0l02R0gl0出于对称作者的考虑，“严格控制未被平衡的离心加速度的时变率，这对于旅客舒适是更为重要的。根据理论分析和实验观察,旅客可以接受的时变率约为0.3～0.4米/秒3

”模型结论：

dav2dRdh??0.99692?6.5359dtRdtdt?v ?v0cos(0t)32l0?vs?v?v?0.9969v2?6.5359200sin(0t)cos(0t)?vR0l0g2l02l0R0l0sin3(0t)2l0该式基本满足

da?0.4m/s3。 dt18

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然而在该模型的改进中加入了宽度s变化式：

?s?D?sin2(l)*(e8R02l02ln2ll0?1)

这对于铁路的铺设带来了不便，不利于具体实施。

夹直线模型运用较简单的知识对夹直线的长度做出估计。其计算式夹以

s?v/2（v

km/s为单位，s夹以m为单位）与欧美先进标准、与国际上高速列车轨道夹直

线计算公式吻合，这说明夹直线模型是正确的，也说明按该模型设计的车轨弯道还有实现安全加速的空间。

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七、参考文献

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