第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2x?cos2x?1,定义推导出诱导公式（??【知识衍化体验】
【知识梳理】
1. 同角三角函数的基本关系式
平方关系：sin2??cos2??1 商数关系：
sinx?tanx；2. 能利用cosx?2，???的正弦、余弦、正切）.
sin??tan? cos?π
2．诱导公式:诱导公式可概括为：k·±α（k∈Z）的各三角函数值的化简公式．
2记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 常见的几组为: 角 正弦 余弦 正切 公式一 α＋k·2π(k∈Z) 公式二 π＋α 公式三 －α 公式四 π－α 公式五 π－α 2 公式六 π＋α 2 3.已知一个角的某一个三角函数值,求其余三角函数值时,要特别注意这个角的范围. 4.求一个已知的角的三角函数值,其一般步骤为: (1)负角化为正角;(2)大角化为小角. 5．sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系：
(1) (sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα； (2) (sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα ； [微点提醒]
?的奇数倍和偶数倍. 23?3??应用公式有时要先技术处理一下，如sin(??)?sin(???2?)?(??).
2221.诱导公式口诀中“奇变偶不变，符号看象限”其中的奇、偶是指的2.利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【基础自测】
疑误辨析
1. 判断下列结论正误
（1）sin(???)??sin? （ ）
3（2）sin(???)?cos? （ ）
23（3）cos(???)??sin? （ ）
22
（4）1+tan2??教材衍化
1 （ ） cos2?2．（多选）下列式子化简结果和sinx相同的是 （ ） A．sin???x?
B．sin???x?
C．cos?????x? ?2?D．cos?x?????? 2?3．角?的终边在直线y?2x上，则
sin??????cos?????sin??????cos?????C．3
? （ ）
A．
1 3B．1 D．?1
考题体验
4．（2016年全国III）若tan??A．
3 ，则cos2??2sin2?= （ ） 4644816 B． C．1 D． 2525255．（2013新课标Ⅱ）设?为第二象限角，若tan(??6．（2016年全国II）若cos(?1)?，则sin??cos?=___． 42?4??)?3，则sin2?= （ ） 51177??A． B． C． D．
552525【考点聚焦突破】
考点一.同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用
【例1-1】已知?为第四象限角，化简：cos?
2
1?sin?1?cos??sin?
1?sin?1?cos?
角度2 关于sin?,cos?的齐次式问题 【例1-2】若tan??2，求（1）
sin??cos?的值；（2）2sin2??sin?cos??cos2?的
cos??sin?值．
角度3 “sin??cos?，sin??sin?”之间的关系
【例1-3】已知sin?和cos?是方程5x2?x?m?0的两实根，求：（1）m的值；（2）当
sin2??2sin2?（3）sin?+cos?的值．(4) ??(0,?)时，求tan(3???)的值；
1?tan?
规律方法 1.已知角的一个三角函数值求其余两个三角函数值，通过sin2??cos2??1事先
sin?正弦与余弦的互化，通过?tan?实现切和弦的互化.
cos?3322. 利用（sinx?cosx）=1?sinx?cosx对sinx?cosx,sinx?cosx,sinx?cosx知一求二
的问题.
3.注意公式的逆运用及变形应用，如1=sin2??cos2?，1?sin2??cos2?，1?cos2?=sin2?. 【训练1】（1）求值(1?sin?1?sin?1?cos?1?cos??)(?)
1?sin?1+sin?1?cos?1+cos?（2）已知A、B、C是三角形的内角，3sinA,?cosA是x2?x?2a?0方程的两根．
①求角A；②若
1+2sinBcosB??3，求tanB. 22cosB?sinB （3）已知关于x的方程2x2?(3?1)x?m?0的两根为sin?,cos?，θ∈(0，2π) ．
sin2?cos?求：①； ①m的值； ①方程的两根及此时θ. ?sin??cos?1?tan?
2
考点二.诱导公式的应用 【例2】化简：
tan(???)cos(2???)sin(??cos(???3?)sin(?3???)3?)2
规律方法 诱导公式的两个简单应用:（1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
7?211???)?，则cos(??)=________ 12312（2）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y?2x上，则
【训练2】（1）已知sin(sin(3???)?cos(???)2＝ ?sin(??)?sin(???)2
考点三.同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 【例3】 是否存在??（-??（0,?），??，使得等式sin(3???)?2cos(??)，,）222?3cos(??)??2cos(???)同时成立？若存在，求出?，?的值，若不存在，请说明理由.
规律方法 1.注意角的范围对三角函数值符号的影响，特别是多解时要考虑舍解，一解时要考虑漏解.
2.一般情况下首先要注意分析角和角之间的关系，比如要在展开和保留整体角之间作出选择.
?3??，?+?6是互余的角,我们常常
sin(???)????=??【训练3】已知sin??????3cos????，则（ ） 3?sin(??)3?6???22
A．?43
反思与感悟 [思维升华]
B．?3 2C．43 D．3 2sinx， cosxasinx?bcosxsin2x?sinxcosx2. 关注齐次式， ,csinx?dcosxcos2x1. 有切有弦，常常切化弦，利用tanx?3. 互相关联的sinx?cosx,sinx?cosx,sinx?cosx知一求二的问题，
如求y?sinx?cosx+sinx?cosx的最大值，令sinx?cosx=t换元.
[易错防范]
利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，基本思想是负化正，大化小，钝化锐.
2
高考数学复习、高中数学 同角三角函数的基本关系与诱导公式附答案解析
