上海交大附中2015届高三上 学期期中数学试卷
一、填空题（本大题满分 结果，每个空格填对得
56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写 4分，否则一律得零分.
1. （4 分）等比数列｛a n｝满足 ai+a2=3, a2+a3=6,则 a7=.
2. （4分）不等式J<1的解集是.
3. （4 分）设集合 A=｛5 , log 2 （ a+3） ｝，集合 B=｛a, b｝.若 AA B=｛2｝，贝U AU B=.
4. （4分）已知函数f （x）二1口吕3 （上+2 ），则方程「1 （x） =4的解x=.
5. （4分）方程sin2x=sin3x 的解集是.
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6. （4分）函数y=log 2 （- x +2x+3）的单调递减区间为.
7. （4分）若函数y=f （x）的图象与y=x+二的图象关于x=1轴对称，则f （x）=.
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& （4分）已知等差数列｛an｝中，a1=10,当且仅当n=5时，前n项和S取得最大值，则公差 d 的取值范围是. 9. (4 分)已知函数 f (x) =asinx+bcosx (x� [a 2 - 2, a])是奇函数，贝U a+b=.
2 . . 10. （ 4分）不等式x - 3>ax - a对一切3 11 . （ 4分）在厶ABC中，锐角/B所对的边b=10.AABC的面积SAAB（=10,外接圆半径 R=13, 则厶ABC的周长CAABC=. 12. （ 4分）若函数f （x） =|x - 3| Tog aX+1无零点，贝U a的取值范围为. 13. （ 4分）设 log ax=log by= - 2, a+b=2，则 x+y 的取值范围为. 14. 若f （a） =f ,则满足条件的最小的正实数 （ 4分）已知函数f （x）满足：①对任意 x �（ 0, +s），恒有f （2x） =2f （x）成立；② 当x �（ 1, 2］时，f （x） =2 - x . a是. 二、选择题（本大题满分 20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答 题纸的相应编号的空格内直接写结果，选对得 5分，否则一律得零分. 15. （ 5分）“函数f （x）在［a , b］上为单调函数”是“函数 f （x）在［a , b］上有最大值和最 小值”的 （） A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 16. （ 5分）若一I,有下面四个不等式：①|a| > |b| :②av b:③a+bv ab,④a 3> b3, a b 不正确的不等式的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 17. （ 5分）已知：数列｛an｝满足ai=16, an+i - an=2n,则」的最小值为（） n A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 18. （5分）设函数 八、—一广 的零点分别 为 X1、X2,则（） A. 0v X1X2V 1 B. X1X2=1 C. 1 v X1X2< 2 D. X1X2 >2 三、解答题（本大题满分 74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定 区域内写出必要的步骤. 19. （12分）关于X的不等式二的解集为P,不等式（/-1、< 1的解集为Q 工+1 ''2 若Q? P,求正数a的取值范围. 2 I 20. （14 分）已知：函数 f （ X） =psin w x?cos w X - cos w X （ p > 0,w> 0）的最大值为二，最 小正周期 为一. 2 （I）求：f （X）的解析式； （□）若厶ABC的三条边为a, b, c,满足a2=bc, a边所对的角为A.求：角A的取值范围及 函数f （A）的值域. 21. （14分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快.已知每投放 且a � R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 a （K aw4, y （克/升）随着时间 X （分钟）变化的函数关系式近似为 y=a?f （ X）,其中f （X）= .若多 5-*, 4 次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和. 据经验，当水中洗衣液的浓度不低于 4 （克/升）时，它才能起到有效去污的作用. （I）若只投放一次 4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ （H）若第一次投放 2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的 4 分钟中能够持续有效去污，试求 a的最小值（按四舍五入精确到 0.1 ）. 22. (16分)设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,已知a2=4, (=30. (I)求an的表达式; (H)设A为数列 的前n项积，是否存在实数 a，使得不等式 v a对一 切n � N*都成立？若存在，求出 a的取值范围；若不存在，请说明理由； (川)将数列｛an｝依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为(ai), (a2, a3), (a4, a5, a6), (a7)(a8, a9), (aio, aii, ai2),…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按 原来括号的前后顺序构成的数列为 ｛bn｝，求b20i5的值. 23. (i8分)已知函数 f i (x) =elx 2a+i1, f 2 (x) =e|x a|+i , x � R. (1) 若 a=2，求 f (x) =fi (x) +f2 (x)在 x� [2 , 3]上的最小值； (2) 若|f i (x) - f2 (x) |=f 2 (x)- fi (x)对于任意的实数 x� R恒成立，求a的取值范围; (3)当4Wa<6时，求函数g(x) 土 1 (“ +f2 2 ￡ (X) -坯(X) 在 x� [i , 6］上的最小值. 2 上海交大附中20i5届高三上学期期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(本大题满分 56分)本大题有i4题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写 结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分. 1. (4 分)等比数列｛a n｝满足 a计a2=3, a2+a3=6,贝U a7=64. 考点： 等比数列的通项公式. 专题：综合题. 分析： 根据等比数列的通项公式分别化简 ai+a2=3, a2+a3=6后得到首项和公比的两个关系式， 把公比代入①即可求出首项， 根据求出的首项和 分别记作①和②，然后②十①即可求出公比， 公比，利用等比数列的通项公式求出 a7的值即可. 解答： 解：由 ai+a2=ai (i+q) =3①，a2+a3=aiq (i+q) =6②， ②*①得：q=2，把q=2代入①得到ai=i, 则 a7=26=64. 故答案为：64 点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题. 9 2. (4分)不等式-<1的解集是｛x|x或XV 0｝. 考点：其他不等式的解法. 专题：不等式的解法及应用. 分析： 根据分式不等式的解法即可得到结论. 解答：解：不等式等价为」 即 x>2,或 xv0, 故不等式的解集为{x|x >2或xv 0}, 故答案为：{x|x >2或xV0}. 点评： 本题主要考查分式不等式的求解，比较基础. 3. (4 分)设集合 A={5 , log 2 ( a+3) }，集合 B={a, b}.若 AA B={2}，贝U AU B={1 , 2, 5}. 考点： 并集及其运算；对数的运算性质. 专题：计算题. 分析： 由AA B={2}可知2 � A, 2 � B,建立关系可求得 a、b的值，再利用并集的定义求解 即可. 解答： 解：T AA B={2}, A log 2 (a+3) =2. a=1 .二 b=2. A A={5, 2} , B={1 , 2} . ? AU B={1, 故答案为{1 , 2, 5}. 点评： 本题考查了并集的运算，对数的运算性质，属于容易题. 2, 5}, 4. (4分)已知函数f (x) =lo g.(上+2 )，则方程「1 (x) =4的解x=1. 考点： 反函数；对数的运算性质. 专题：计算题. 分析： 根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足 「1 ( x) =4的x值，即求f ( 4) 的值. 解答：解：由题意得，即求 f (4)的值 ??? f (x)斗口 亦(^+2 ),, ? f ( 4) =log 3 (1+2) =1, ? f ( 4) =1. 即所求的解x=1 . 故答案为1. 点评： 题. 本题主要考查了反函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础 、 Ob TT TT 5. 是{x|x=2k n 或 x=— - (4 分)方程 sin2x=sin3x 的解集 5 5 } ( k � Z). 考点： 三角函数中的恒等变换应用. 专题：三角函数的求值. 分析： 首先对三角函数的方程进行恒等变换，进一步解出方程的解. 解答： 解：方程sin2x=sin3x 则：sin (2x+2kn) =sin3x 或 sin3x=sin ( 2k n + n— 2x) 解得：x=2k n或x= 故：本题的解集为：｛x|x=2k n 或x=-l-' ｝ （k� Z） I 5申 (k � Z) 点评： 本题考查的知识要点：三角函数方程问题? 故答案为：：｛x|x=2k n 或x= * 属于基础题型. 6. （4分）函数y=log 2 （— x2+2x+3）的单调递减区间为（1, 3）. 考点：复合函数的单调性. 专题：函数的性质及应用. 分析： 令t= — X2+2X+3>0，求得函数的定义域为（-1, 3）,且y=log 2t，本题即求t在（- 1, 3）上的减区间.再利用二次函数的性质求得 解答： 解：令 t= — X2+2X+3>0，求得-1 vxv3, 故函数的定义域为（-1, 3），且y=log 2t, 故本题即求t在（-1, 3） 上的减区间. 再利用二次函数的性质求得 故答案为：（1 , 3）. 点评： 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了等价转化的数学思想， t= —（ x— 1） 2+4在（-1 , 3）上的减区间. t= —（ x— 1） 2+4的减区间为（1 , 3）, 属于中档题. 7. （4分）若函数y=f （x）的图象与y=x+丄的图象关于x=1轴对称，则f （x） = - ，: K 考点：函数的图象. 专题：函数的性质及应用. 分析： 由函数f （x）的图象与函数 y=x+丄的图象关于x=1对称，故在函数y=f （x）的图象 . 2 _ z| x 上任取（x, y），则点（x, y）关于x=1对称的点为（2— x, y）在-，-一的图象上，代入即 x 可得到答案. 解答： 解：在函数y=f （x）的图象上任取（x, y）, ???点（x, y）关于x=1对称的点为（2 —x, y）, ???（ 2 — x, y ）在-的图象上，所以* = _ -二丨 刘 ? f （x） =2_ 「2 - K 1 , 2 _ K 2- K . 故答案为:2 _工+仃1 点评： 本题考查了函数图象的对称性与函数解析式的求法，属于基础题.
上海市交大附中2015届高三数学上学期期中试卷(含解析)
