2 动量传输分析基础
2.0 本章主要内容导读
本章是整个动量传输的理论分析基础，包括流体运动学(fluid kinematics)和流体动力学(fluid dynamics) 两大部分内容(图2-1)。
流体运动学和流体动力学都是研究流体运动规律的科学，但是两者有所区别。流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度、变形等运动参数的变化规律。流体运动学不涉及引起运动的力和力矩，普遍适用于可压缩流体/不可压缩流体、理想流体/粘性流体。流体动力学研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数和所受作用力之间的关系，理论基础是三大守恒定律(质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律)。
图2-1 第二章主要内容导读
教材中和本章相关的内容包括：1.2、1.4.2、第二章、3.1、3.2、3.3、4.1、4.3、5.1。
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2.1 流体运动学
2.1.1 流场和速度场
在动量传输中，将流体质点运动的全部空间称为流场(flow field)。
根据连续介质模型，流场中充满了连续分布、运动的流体微团。在任意时刻，流体中的每一个点都对应一个流体微团/流体质点，将每一个流体质点所具有的物理量(数量/矢量)定义在该时刻和空间点上，就形成定义在连续时间和空间域上的数量场/矢量场。
速度场(velocity field)是动量传输中最基本的场，流场的许多性质都可以从速度场直接或间接导出，因此速度场常常被等同于流场。
表征流体运动的物理量，如流速、加速度、压力等统称为运动要素，它们是空间和时间的连续函数。 2.1.2 系统和控制体
在动量传输中，系统和控制体的概念可以进一步明确，即系统是某一确定流体质点集合的总体，控制体是在流场中人为选择的用于研究的空间几何区域。
动量传输中的“系统”一词特指封闭系统。 在研究动量传输时，流体微团一直处于运动中，不能保证系统的质量不变。因此，在动量传输中一般采用控制体进行分析。根据研究需要，控制体可以固定不动、移动或者变形(图2-2)。
如无特殊说明，后续和控制体方法有关的分析均采用固定控制体。
图2-2 不同类型的控制体
系统是普通物理和固体物理中最常用的概念，三大守恒定律都是以系统的形式给出。动量传输中通常采用控制体进行分析，因此需要将系统形式表示的守恒定律变换为控制体形式表示的守恒定律，雷诺输运定理(Reynolds transport theorem，RTT)可以实现这一目的(图2-3)。
图2-3 雷诺输运定理和系统、控制体的关系
雷诺输运定理可以表示为
dBsysd?式中：B——广延参数；
sys——系统物理量。
???(?b)dV??(?b)(v?n)dAB?bm CV??CS2
CV、CS——对控制体进行体积分和面积分；
b——和广延参数B对应的比参数；
v——流体质点相对于控制面的速度(m/s)。
雷诺输运定理的物理意义为：系统物理量的时间变化率，等于相应的控制体内物理量的时间变化率和单位时间通过控制面流出的物理量的代数和。
雷诺输运定理可以用三维莱布尼兹定理进行证明。三维莱布尼兹定理可以表示为
d?GG(x,y,z,?)dV?dV???G(x,y,z,?)(v?n)dA ??????d?V(?)V(?)??A(?)令
G??b??则有
B mdBsysd?(?b)dV??(?b)dV???(?b)(v?n)dA ??????d?V(?)d???V(?)A(?)假设τ时刻控制体和系统处于同一位置，可得
dBsysd????(?b)dV??(?b)(v?n)dA CV??CS? 雷诺输运定理参考文献——流体力学。
2.1.3 流体运动的描述 2.1.3.1 流体运动的描述方法
流体运动通常有两种描述方法：拉格朗日法(Lagrangian method)和欧拉法(Eulerian method)，分别由意
大利数学家Joseph-Louis Lagrange和瑞士数学家Leonhard Euler提出。拉格朗日法以运动着的流体质点为研究对象，通过描述流体质点的相关物理量和时间之间的函数关系来研究整个流场的运动，和系统相对应；欧拉法以空间点为研究对象，通过描述空间点的相关物理量和时间之间的函数关系来研究整个流场的运动，和控制体相对应。
空间点本身并没有各种物理性质，但是根据连续介质模型，每一个空间点可以和一个流体质点相对应，因此将某一时刻通过某一空间点的流体质点对应的物理性质作为该空间点在该时刻的物理性质。
例2-1 描述方法的选择
确定下列几种情况下合适的流动描述方法。
(1)可以利用半导体制造技术制造嵌入硅晶片的微电子管(特征尺寸的数量级为微米级)，研究流过微电子管的气流流动情况，已知气流所受压力约为10-4atm。
(2)统计发现，在特定的日子里Wrigley棒球场中本垒打出现的比较多，建立空气流动模型研究其原因。 (3)作为一名紧急援救工程师，预测由于恐怖袭击造成的有毒气体在城市地铁系统中的传播情况。 解：
流体运动描述方法的选择原则如下：在连续介质模型不成立时使用分子模型描述，否则根据具体问题确定是使用拉格朗日法还是使用欧拉法进行描述。
(1)理想气体在10-4atm真空中的平均分子自由程约为0.7mm，远大于微电子管的特征尺寸。因此，连续介质模型不成立，用分子模型进行描述比较合适。
(2)为了研究Wrigley棒球场中空气的流动特征，需要知道棒球场中空气对应的速度场随时间和空间的变化规律，用欧拉法进行描述比较合适。
(3)为了预测污染流体的污染传播路径，必须对污染流体进行跟踪，用拉格朗日法进行描述比较合适。
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下面以直角坐标系为例，分析如何用拉格朗日法和欧拉法来描述流场特别是速度场和加速度场。 如图2-4，对拉格朗日法，流体质点的相关物理量可以表示为
A?A(a,b,c,?)
式中：A——流体质点的相关物理量；
a、b、c、τ——拉格朗日变数/拉格朗日变量。
对欧拉法，直角坐标下流体质点的相关物理量A可以表示为
A?A(x,y,z,?)?A(x(a,b,c,?),y(a,b,c,?),z(a,b,c,?),?)
式中：x、y、z、τ——欧拉变数/欧拉变量。
图2-4 流体质点时空坐标的表示
定义随体导数(material derivative)/物质导数为流体质点物理量随时间的变化率。例如，流体质点的速度和加速度分别等于该流体质点位置矢量和速度矢量的随体导数。
对拉格朗日法，同一流体质点的拉格朗日变数a、b、c不随时间τ变化，随体导数可以表示为
dA(a,b,c,?)?A(a,b,c,?) ?d???拉格朗日法描述中的位置矢量可以表示为
r?r(a,b,c,?)
式中：r——位置矢量。
因此，速度场和加速度场可以分别表示为
dr(a,b,c,?)?r(a,b,c,?)?d??? 2dv(a,b,c,?)dr(a,b,c,?)?2r(a,b,c,?)a(a,b,c,?)???2d?d???2v(a,b,c,?)?式中：a——加速度矢量。
v——速度矢量。
对欧拉法，同一流体质点的空间坐标x、y、z随时间τ变化，随体导数可以表示为
dA(x,y,z,?)?A?x?A?y?A?z?A?A?A?A?A?A?????vx?vy?vz???(v??)A
d??x???y???z?????x?y?z????式中，最后两项分别称为区域导数(domain derivative)/局部导数/时变导数/当地导数和对流导数(convective
derivative)/位变导数/迁移导数。因此，随体导数等于区域导数和对流导数的代数和，其中区域导数反映了时间变化对物理量A的影响，对流导数反映了空间变化对物理量A的影响。
根据随体导数的概念，雷诺输运定理可以视为“流体系统的随体导数(系统广延参数对时间的总变化率)等于流体系统广延参数的区域导数和对流导数的代数和”。
根据上述随体导数的概念可以对第一章中的不可压缩流体进行进一步说明。根据定义，不可压缩流体是指在压力作用下
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流体密度场的相对变化可以忽略不计的一类流体，也就是说流体密度的随体导数近似为零，即
d?????(v??)??0 d???因此，不可压缩流体并不需要流体密度为常数。
当流体的密度(近似)保持为常数时，称该流体为不可压缩均质流体。对此类流体，密度的区域导数和对流导数均为零，即
???0(v??)??0 ??本讲义中不严格区分不可压缩流体和不可压缩均质流体，而是将不可压缩流体视为不可压缩均质流体的简称。
欧拉描述中的速度场可以直接表示为
v?v(r,τ)?v(x,y,z,?)?v(x(a,b,c,?),y(a,b,c,?),z(a,b,c,?),?)
因此，加速度场可以表示为
a?dv(x,y,z,?)?v?v?v?v?v?vx?vy?vz???(v??)v
d??x?y?z????式中：vx、vy、vz——速度矢量v在x、y、z方向的分量(m/s)。
例2-2 温度的随体导数
设某天北京气温为t1=10°C，南京和它相距L=1000km，气温t2=15°C。北京向南京的气流速度v=12m/s。(1)在流动过程中空气温度不变，确定南京当天气温下降的度数；(2)空气向南流动过程中，由于气团的变化温度每天升高2.5°C，确定南京当天的温度变化。 解： (1)
空气温度的变化(温度的随体导数)来自于局部地区温度随时间的变化(温度的区域导数)和气团的运动(温度的对流导数)。
根据随体导数和区域导数、对流导数的关系有
dt?t??(v??)t d???因此有
?tdt?15?C?10?C???(v??)t?0?C/day?(12m/s)????5.2?C/day ??d??1000km?(2)
和上一题类似有
?tdt?15?C?10?C???(v??)t?2.5?C/day?(12m/s)????2.7?C/day ??d??1000km?例2-1A 加速度场的计算
一个稳态、不可压缩、二维流动的速度分布为
vx?1.3x?0.85y?0.2vy?0.95x?1.3y?0.5
确定加速度场并给出点(x, y)=(1, 2)处的加速度。 解：
根据加速度场的定义有
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动量传输 第二章 动量传输分析基础 - 图文
