高中数学第三章指数函数和对数函数6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案北师大版必修1

由天下分享时间：2025/1/29 3:37:22 加入收藏我要投稿点赞

6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

学习目标 1.了解三种函数的增长特征.2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数

增长”.3.尝试函数模型的简单应用．

知识点一同类函数增长特点

思考同样是增函数，当x从2变到3，y＝2到y＝10的纵坐标增加了多少？

梳理当a>1时，指数函数y＝a是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝x是增函数，并且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快．

知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异

思考当x从1变到10，函数y＝2，y＝x和y＝lg x的纵坐标增长了多少？

梳理一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a(a>1)、幂函数y＝x(n>0)与对数函数y＝logax(a>1)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a(a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝x(n>0)的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有

________________________(a>1，n>0)．

xnxnx2

xxxn

类型一根据图像判断函数的增长速度

例1 函数f(x)＝2和g(x)＝x的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，

B(x2，y2)，且x1

1 / 8

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；

(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．

反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时，函数值的增长量的变化；

另一方面，也可从函数图像的变化，图像越陡，增长越快．跟踪训练1 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．

(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．

类型二函数增长模型的应用

例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如

下：

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方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

反思与感悟直线上升反映了一次函数(一次项系数大于0)的增长趋势，其增长速度不变(恒为常数)；指数爆炸反映了指数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度急剧(越来越快)；对数增长反映了对数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度平缓(越来越慢)．解

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题时，注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律．

跟踪训练2 某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002，其中哪个模型能符合公司的要

求？

1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )

B．y＝log3x D．y＝3

xA．y＝3x C．y＝x

2．当a>1时，有下列结论：

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①指数函数y＝a，当a越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y＝a，当a越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．

其中正确的结论是( )

B．①④ D．②④

A．①③ C．②③

xx3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y 年，则函数y＝f(x)的图像大致是( )

4．当2＜x＜4时，2，x，log2x的大小关系是( )