点M为三角形ABC的中心，E为AC中点， 当DM?平面ABC时，三棱锥D?ABC体积最大 此时，OD?OB?R?4
QSVABC?3AB2?93 4?AB?6,
Q点M为三角形ABC的中心
?BM?2BE?23 3?RtVOMB中，有OM?OB2?BM2?2
?DM?OD?OM?4?2?6
1??VD?ABC?max??93?6?183 3故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM?平面ABC时，三棱锥D?ABC体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到
BM?2BE?23，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型． 3，则的虚部为（ ）
B．
C．
D．
11．已知复数满足A． 【答案】A 【解析】
分析：移项，化简整理即可. 详解：的虚部为4. 故选：A.
点睛：复数四则运算的解答策略
，
复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式． 12．已知aA．4 【答案】A 【解析】 【分析】
先得a+3b=1，再与【详解】
依题意得a?3b?1，a＞0，b＞0， 所以
?0,b?0，直线ax?by?1过点?1,3?，则?B．3
C．2
1a1的最小值为（ ） 3bD．1
11?相乘后，用基本不等式即可得出结果. a3b11a3ba3b?11????a?3b?????1?1???2?2??4， a3b3ba3ba?a3b?2时取等号； 3当且仅当a?2，b?故选A 【点睛】
本题考查了基本不等式及其应用，熟记基本不等式即可，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．由曲线y?【答案】【解析】
试题分析：由定积分知考点：定积分及其几何意义 14．正态分布X:N
x,直线y?x?2及y轴所围成的平面图形的面积为________.
??,??三个特殊区间的概率值
2P?????X??????0.6826,P???2??X???2???0.9544,
P???3??X???3???0.9974,若随机变量X满足X:N?1,22?，则P?3?X?5??____．
【答案】0.1359 【解析】 【分析】
根据正态分布，得出其均值和方差的值，根据3?的原则和正态曲线的对称性可得. 【详解】
由题意可知，?=1，?=2，
?P?3?X?5??11P1?2?2?X?1?2?2?P1?1?2?X?1?1?2????????2?0.9544?0.6826??0.1359. 2?故答案为0.1359. 【点睛】
本题考查正态分布曲线的对称性和3?的原则，属于基础题.
15．一个碗中有10个筹码，其中5个都标有2元，5个都标有5元，某人从此碗中随机抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金的期望为________． 【答案】【解析】
分析：先确定随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望. 详解：获得奖金数为随机变量ξ，则ξ＝6,9,12,15，所以ξ的分布列为： ξ P E(ξ)＝6×
6 9 12 15 21 21 125 125 121 12552111. ＋9×＋12×＋15×＝
121221212点睛：本题考查数学期望公式，考查基本求解能力.
b12b22(b1?b2)2??16．已知对任意正实数a1,a2,b1,b2，都有，类比可得对任意正实数 a1a2a1?a2a1,a2,a3,b1,b2,b3都有_______________．
b12b22b32(b1?b2?b3)2???. 【答案】
a1a2a3a1?a2?a3【解析】
分析：根据类比的定义，按照题设规律直接写出即可.
22b1?b2??bb12详解：由任意正实数a1,a2,b1,b2，都有，推广到a1,a2,a3,b1,b2,b3则 ??a1a2a1?a22b12b22b32?b1?b2?b3?. ???a1a2a3a1?a2?a3b12b22b32?b1?b2?b3?故答案为 ???a1a2a3a1?a2?a3点睛：考查推理证明中的类比，解此类题型只需按照原题规律写出即可，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知函数f?x??x?2，g?x??x?a?x?1，a?R.
222（1）若a?4，求不等式f?x??g?x?的解集；
（2）若对任意x1、x2?R，不等式f?x1??g?x2?恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 (1)x|x?1或x1；(2)?1?a?3. 【解析】
???3，x?4，??2g?x??x?4?x?1???2x?5，1?x?4，试题分析：（Ⅰ）当a?4时，x?2?x?4?x?1. 对x解
?3，x?1，?析分类讨论，可求不等式f?x??g?x?的解集；
1?a，x?a，??1?x?a，（2）当a?1时，g?x???a?1?2x， g?x?的最大值为a?1，
?a?1，x?1，?要使f?x1??g?x2?，故只需2?a?1；
x?1，??a?1，?a?x?1，当a?1时，g?x???2x?a?1， g?x?的最大值为1?a，
?a?1，x?a，?要使f?x1??g?x2?，故只需2?1?a，由此可求实数a的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）当a?4时，x?2?x?4?x?1.
2?3，x?4，??g?x??x?4?x?1???2x?5，1?x?4，
?3，x?1，?①当x?4时，x2?2??3恒成立，∴x?4；
②当1?x?4时，x2?2??2x?5，即x2?2x?3?0，即x?1或x??3. 综合可知：1?x?4；
③当x?1时，x2?2?3，则x?1或x??1，综合可知：x??1. 由①②③可知：{x|x??1或x?1}.
1?a，x?a，??1?x?a，（Ⅱ）当a?1时，g?x???a?1?2x， g?x?的最大值为a?1，
?a?1，x?1，?要使f?x1??g?x2?，故只需2?a?1， 则a?3，∴1?a?3；
x?1，??a?1，?a?x?1，当a?1时，g?x???2x?a?1， g?x?的最大值为1?a，
?a?1，x?a，?要使f?x1??g?x2?，故只需2?1?a， ∴a??1，从而?1?a?1. 综上讨论可知：?1?a?3.
x18．已知函数f(x)?ae?x?b，g(x)?x?ln(x?1)，（a,b?R,e为自然对数的底数），且曲线y?f(x)与y?g(x)在坐标原点处的切线相同. （1）求f(x)的最小值；
（2）若x?0时，f(x)?kg(x)恒成立，试求实数k的取值范围. 【答案】（1）0；（2）(??,1]. 【解析】
试题分析：（1）由于曲线y?f(x)与y?g(x)在坐标原点处的切线相同，即它们在原点的导数相同，
，g?(x)?1?1(x??1)，f?(0)?g?(0)且切点为原点，f(0)?0，解得a?1,b??1.x?1x所以f?(x)?e?1，当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0，所以当x?0时，f(x)取得最小
值为0；（2）由（1）知，f(x)?0，即ex?x?1，从而x?ln(x?1)，即g(x)?0.构造函数
F(x)?f(x)?kg(x)，利用导数并对k分类讨论F?x?的图象与性质，由此求得实数k的取值范围.
试题解析： （1）因为
，g?(x)?1?1(x??1)， x?1依题意，f?(0)?g?(0)，且f(0)?0，解得a?1,b??1，
x所以f?(x)?e?1，当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0.
故f(x)的单调递减区间为(??,0)，单调递增区间为(0,??). ∴当x?0时，f(x)取得最小值为0.
（2）由（1）知，f(x)?0，即ex?x?1，从而x?ln(x?1)，即g(x)?0. 设F(x)?f(x)?kg(x)?e?kln(x?1)?(k?1)x?1，
xkk?(k?1)?x?1??(k?1)， x?1x?11?2?0（当且仅当x?0时等号成立） （1）当k?1时，因为x?0，∴F?(x)?x?1?x?1则F?(x)?e?x
山东省威海市2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题含解析
