8-5 椭圆
课时规范练 A组 基础对点练
1．(2018·长春质检)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆
43于A，B两点，则△ABF1的周长为( C ) A．4 C．8
B.6 D.16
x2y2
2．(2018·武汉调研)曲线C1：＋与曲线C2：＋＝1(0 25925－k9－kA．长轴长相等 C．离心率相等 B.短轴长相等 D.焦距相等 x2y2x2y2 解析：因为0 2 2 2 2 2 2 x2y2 3．若对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是 2m( C ) A．(1,2] C．[1,2)∪(2，＋∞) B.[1,2) D.[1，＋∞) 4．(2017·高考浙江卷)椭圆＋＝1的离心率是( B ) 94A. 13 3 B.5 3 x2y2 2C. 35D. 9 12 5．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y＝－4x的焦点重合， 2则此椭圆方程为( A ) A.＋＝1 43C.＋y＝1 2 x2y2x2 B.＋＝1 86D.＋y＝1 4 x2y2x2 22 x2y22 6．若椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F是抛物线y＝4x的焦点，两曲线的一个交点为P，且 ab 1 |PF|＝4，则该椭圆的离心率为( A ) A. 7－2 3 B. 2＋1 3 2C. 31D. 2 y2?π?则椭圆形状最圆时的方程为( A ) 7．已知椭圆＋2＝1，其中α∈?0，?， 2?tan αtanα＋1? A．x＋＝1 2C．x＋＝1 4 2 2 22 x2 y2y2 B.x＋＝1 3D.x＋＝1 6 2 2 y2y2 8．若x＋ky＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__(0,1)__． 9．(2018·福州质量)在三角形MAB中，点A(－1,0)，B(1，0)，且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E. (1)求E的方程； (2)设点D(－2,0)，过B的直线与E交于P，Q两点，求证：∠PDQ不可能为直角． 解析：(1)依题意得，|MA|＋|MB|＋|AB|＝6，所以|MA|＋|MB|＝4>|AB|， 所以点M的轨迹E是以A(－1,0)，B(1,0)为焦点且长轴长为4的椭圆． 由于M，A，B三点不共线，所以y≠0， 所以E的方程为＋＝1(y≠0)． 43 (2)证明：设直线PQ的方程为x＝my＋1，代入3x＋4y＝12，得(3m＋4)y＋6my－9＝0. －6my＋y＝，??3m＋4 设P(x，y)，Q(x，y)，则?－9 yy＝??3m＋4， 1 2 2 1 1 2 2 12 2 2 2 2 2 x2y2 →→ 所以DP·DQ＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2 ＝(my1＋1)(my2＋1)＋2(my1＋1＋my2＋1)＋4＋y1y2＝(m＋1)y1y2＋3m(y1＋y2)＋9 －9m＋118m27＝－＋9＝>0， 2223m＋43m＋43m＋4所以∠PDQ不可能为直角． 2 2 2 x2y22?? 10．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P?1，?在椭圆上，且 ab2?? 有|PF1|＋|PF2|＝22. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值． 2 xy2??2 解析：(1)由|PF1|＋|PF2|＝22，得2a＝22，a＝2.将P?1，?代入＋2＝1，得b＝ 2b2?? 1. 所以椭圆C的标准方程为＋y＝1. 2 (2)由已知，直线l的斜率为零时，不合题意， 设直线l的方程为x－1＝my，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ??x＝my＋1， 联立方程?22 ?x＋2y＝2，? 2 2 22 x2 2 消去x， 化简整理得(m＋2)y＋2my－1＝0. －2my＋y＝，??m＋2 由根与系数的关系，得?－1 yy＝??m＋2， 1 2 2 12 2 S△AOB＝|OF2|·|y1－y2|＝ 1 ＝2 1212 y1＋y2 2 －4y1y2 2m?2－1??－?－4×?m2＋2??m2＋2? ???? ＝2×＝2× m2＋1 m4＋4m2＋4m2＋1 2 2 ＋2m＋1＋1 m2＋1 ＝2× 1 m＋1＋2＋2 m＋1 2 1 ≤2× 2 当且仅当m＋1＝ 2 1 m2＋1×2＋2 m＋1 2 1 ＝ 2， 2 1 ，即m＝0时，等号成立， m＋1 2. 2 B组 能力提升练 所以△AOB面积的最大值为 x2y22 1．(2018·郑州质量)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为， ab3 过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为( D ) 3 A.＋y＝1 3C.＋＝1 94 x2 2 B.＋＝1 32D.＋＝1 95 x2y2x2y2 x2y2 解析：由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1| c2 ＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以 a3b＝a－c＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D . 9 5 2 2 2 x2y2 x2y2 2．(2018·济南质量)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦 ab点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( B ) A.3 2 B.D.3－5 23－1 2 －1＋5C. 2 解析：由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x＋y＝c与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥ 2 2 2 bAB，且OP＝c，即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的方程为y＝x＋b，整理得bx－aya＋ab＝0，点O到直线AB的距离d＝ 2 2 2 2 4 4 4 ab22222 ＝c，两边同时平方整理得，ab＝c(a＋b)＝22 b＋a2 2 22 4 4 ?b?2b(a－b)(a＋b)＝a－b，可得b＋ab－a＝0，两边同时除以a，得?2?＋2－1＝0，可得 ?a?ab2－1＋5c2a2－b2b2－1＋53－52 ，则e＝2＝2＝1－2＝1－＝，故选B . 2＝ a2aaa22 x2y2 3．从椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正 ab半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( C ) A.2 4 1B. 2 4 C. 2 2 D. 3 2 2 b??解析：由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P?－c，?.∵AB∥OP， a??bb2 ∴kAB＝kOP，即－＝－，则b＝c， aac∴a＝b＋c＝2c，则＝ 2 2 2 2 ca22 ，即该椭圆的离心率是，故选C. 22 x2y222 4．已知直线l：y＝kx＋2过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x＋y＝4 ab45 截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是( B ) 5A.?0， ??5?? 5??25?B.?0，? 5???45? D.?0，? 5?? ?35? C.?0，? 5?? 解析：依题意，知b＝2，kc＝2. 设圆心到直线l的距离为d， 则L＝24－d≥又因为d＝2 2 45162 ，解得d≤. 55 1412，所以≤，解得k≥. 221＋k541＋k2 c2c2142 于是e＝2＝22＝2，所以0 ab＋c1＋k5 25 解得0 5 x2y2 5．已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0 ab4 交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心 5率的取值范围是( A ) A.?0，C.? ??3?? 2? ?3?B.?0，? ?4??3?D.?，1? ?4? ?3? ，1? ?2? 解析：设椭圆的左焦点为F1，半焦距为c，连接AF1，BF1(图略)，则四边形AF1BF为平行四边形，所以|AF1|＋|BF1|＝|AF|＋|BF|＝4.根据椭圆定义，有|AF1|＋|AF|＋|BF1|＋|BF|＝4a， 5
(新课标)2020年高考数学一轮总复习8_5椭圆课时规范练(文)(含解析)新人教A版
