2014年高考理科数学全国新课标()试题和答案 - 21

2014年高考理科数学全国新课标(Ⅱ)试题和答案_21

2014年全国普通高等学校招生理科数学卷（新课标卷Ⅱ）

一、选择题：

1.设集合M?{0,1,2}，N?{x|x?3x?2?0}，则M?N=( )

2A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝

2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1?2?i，则z1z2?（ ） A. ?5

3.设向量a，b满足|a?b|?10，|a?b|?B. 5

C. ?4?i

D. ?4?i

A. 1

B. 2

6，则a?b ( ) C. 3 D. 5

2 ，则AC?( )

4.钝角三角形ABC的面积是1，AB?1，BC?A. 5

2B. 5 C. 2 D. 1

5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）

A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 17 B. 5 C. 10 D. 1

279273

7.执行右图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S?（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8.设曲线y?ax?ln(x?1)在点(0,0)处的切线方程为y?2x， 则a?（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

?x?y?7?0?x?y的最大值为9.设x，y满足约束条件?x?3y?1?0，则z?2（ ）

?3x?y?5?0?A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

010.设F为抛物线C:y2?3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C1 / 6

2014年高考理科数学全国新课标(Ⅱ)试题和答案_21

于A， B两点，O为坐标原点，则?OAB的面积为（ ） A.

11.直三棱柱ABC?A1B1C1中， ?BCA?90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC?CA?CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

03393 C. 63 D. 9

B. 4328430 A. 1 B. 2 C. D. 105102

212.设函数f?x??3sin?x.若存在f?x?的极值点x0满足x02??f?x0???m2，则m的取值范围??m2是（ ）

A. ???,?6???6,??B. ???,?4???4,?? C. ???,?2???2,?? D.???,?1???4,??

二、填空题：

13.?x?a?的展开式中，x7的系数为15，则a?________.(用数字填写答案)

14.函数f?x??sin?x?2???2sin?cos?x???的最大值为_________.

15.已知偶函数f?x?在?0,???单调递减，f?2??0.若f?x?1??0，则x的取值范围是

16.设点M(x0,1)，若在圆O:x2?y2?1上存在点N，使得?OMN?45，则x0的取值范围是________.

010三、解答题：

17.已知数列?an?满足a1=1，an?1?3an?1.

（Ⅰ）证明an?1是等比数列，并求?an?的通项公式；

?2?（Ⅱ）证明：1?1?…+1?3.

a1a2an2

18. 如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?平面ABCD，E为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

0（Ⅱ）设二面角D?AE?C为60，PA?1，AD?

19. （本小题满分12分）

3，求三棱锥E?ACD的体积.

2 / 6

2014年高考理科数学全国新课标(Ⅱ)试题和答案_21

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

?b?

??t?t??y?y?iii?1n??t?t?ii?1n? ??y?bt，a2x2y220. 设F1，F2分别是椭圆C: 2?2?1(a?b?0)的左,右焦点，M是C上一点且MF2与x轴

ab垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

（Ⅰ）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；

4a（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN?5F1N，求，b.

21. 已知函数f?x?=ex?e?x?2x（Ⅰ）讨论f?x?的单调性；

（Ⅱ）设g?x??f?2x??4bf?x?，当x?0时，g?x??0,求b的最大值； （Ⅲ）已知1.4142?2?1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）

23. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为??2cos?，

??.（Ⅰ）求C的参数方程； ???0,???2?（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y?程，确定D的坐标.

24. 设函数f?x?=x?1?x?a(a?0)

3x?2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方

a（Ⅰ）证明：f?x?≥2；（Ⅱ）若f?3??5，求a的取值范围.

2014年普通高等学校招生全国卷(Ⅱ)统一考试

一、选择题：

（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C

3 / 6

2014年高考理科数学全国新课标(Ⅱ)试题和答案_21

（7）D （ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C

二、填空题：

（13）

1 （14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1] 2三、解答题：

17、

11?3(am?). 221313又a1??，所以，{am? } 是首项为，公比为3的等比数列。

2222m3m?113 am?=，因此{an}的通项公式为am=22212（2）由（1）知=m

am3?111m?1m因为当n?1时，3?1?2?3,所以，m ?m?13?12?311111313???1???m?1=(1?m)? 于是，?a1a2am332321113??? 所以，?a1a2am2解：（1）由am?1?3am?1得am?1?

18、

解：（1）连结BD交AC于点O，连结EO， 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点， 又E为的PD的中点，所以EO∥PB，

EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC；

（2）因为PA?平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直

如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标系，

则A?xyz，则D(0,3,0)，则E(0,3131,)，AE=(0, ,)，设B(m,0,0)，则C(m,3,0) 2222设n?(x,y,z)为平面ACE的法向量，

?mx?3y?0?n?AC?0??则?， 即?3， 1y?z?0???n?AE?02?2可取n?(3,?1,3)， m3113?m?，即，解得，

3?4m2222又m?(1,0,0)为平面DAE的法向量， 由题设cos?n,m??4 / 6

2014年高考理科数学全国新课标(Ⅱ)试题和答案_21

因为E为PD的中点，所以三棱锥E?ACD的高为V=

1，三棱锥E?ACD的体积为 231131??3??= 32228 19、

解：由所得数据计算得: t?1(1?2?3?4?5?6?7)?4, 7y?71(2.9?3.3?3.6?4.4?4.8?5.2?5.9)?4.3, 7i?(ti?1?t)?9?4?1?0?1?4?9?28,?(ti?t)(yi?y)?14，

2i?17b??(t17i?t)(yi?y)?i?(ti?17?t)214?0.5,a?y?bt?4.3?0.5?4?2.3, 28??0.5t?2.3 所求回归方程为y(Ⅱ)由（Ⅰ）知，b?0.5?0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均

每年增加0.5千元.

??0.5?9?2.3?6.8， 将2015年的年份代号t?9代入（1）中的回归方程，得y故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元 20、

b22解：（Ⅰ）根据c?a?b以及题设知M(c,)，2b?3ac，

ac1c12222将b?a?c入2b?3ac，解得?，??2（舍去）故C的离心率为；

a2a2（Ⅱ）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D是线段MF1的

22b2?4，即b2?4a ① 中点，故a?2(?c?x)?c|DF|?|FN|由MN?5F，设N(x,y)，由题意可知y?0，则?， 111N得：

?2y?2?3c?9c21?x??即?2，代入方程C，得2?2?1 ②

4ab??y??19(a2?4a)1??1， 将①以及c?a?b代入②得到24a4a2解得a?7， b?4a?28，故 a?7， b?27.

22 21、

解：（Ⅰ）f?(x)?e?ex?x?2?0，等号仅当x?0时成立，所以f(x)在(??,??)单调递增；

2x（Ⅱ）g(x)?f(2x)?4bf(x)?e?e?2x?4b(ex?e?x)?(8b?4)x，

g?(x)?2[e2x?e?2x?2b(ex?e?x)?(4b?2)]?2(ex?e?x?2)(ex?e?x?2b?2)，

5 / 6

2014年高考理科数学全国新课标(Ⅱ)试题和答案_21

（1） 当b?2时，等号仅当x?0时成立，所以g(x)在(??,??)单调递增，而g(0)?0，g?(x)?0，

所以对任意x?0，g(x)?0； （2） 当b?2时，若x满足，2?e?ex?x即0?x?ln(b?1?b2?2b)时，?2b?2，g?(x)?0，

而g(0)?0，因此当0?x?ln(b?1?b2?2b)时，g(x)?0，

综上，b的最大值为2

3?22b?2(2b?1)ln2， 282?33?0.6928， 当b?2时，g(ln2)??42?6ln2?0，ln2?122323?1时，ln(b?1?b2?2b)?ln2，g(ln2)??22?(32?2)ln2?0， 当b?4218?2ln2??0.693.

28（3） 由（2）知， g(ln2)? 23、

解：（1）C的普通方程为: (x?1)?y?1(0?y?1),

22?x?1?cost（t为参数，0?t??）；

?y?sint（Ⅱ）设D(1?cost,sint)，由（Ⅰ）知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆。

?因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant?3 ，t?. 333??). 故D的直角坐标为(1?cos,sin)，即(,2233可得C的参数方程为：??

24、

解：（Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2. 所以f（x）≥2.

（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.

当a＞3时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜当0

）

6 / 6